[論文レビュー] Strongly Monotone Drawings of Planar Graphs

Stefan Felsner, Alexander Igamberdiev+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、プライマル・デュアルの円パッキングと凸木図形を用いて、3連結平面グラフ、外部平面グラフ、および2-ツリーの交差のない強単調図形を構築するためのアルゴリズムを提示する。主な貢献は、これらのグラフクラスがこのような図形を許容することを証明することであり、すべての構成が指数的面積を要することを示しているが、非木クラスにおける多項式面積図形の可能性については未解決のまま残されている。

ABSTRACT

A straight-line drawing of a graph is a monotone drawing if for each pair of vertices there is a path which is monotonically increasing in some direction, and it is called a strongly monotone drawing if the direction of monotonicity is given by the direction of the line segment connecting the two vertices. We present algorithms to compute crossing-free strongly monotone drawings for some classes of planar graphs; namely, 3-connected planar graphs, outerplanar graphs, and 2-trees. The drawings of 3-connected planar graphs are based on primal-dual circle packings. Our drawings of outerplanar graphs are based on a new algorithm that constructs strongly monotone drawings of trees which are also convex. For irreducible trees, these drawings are strictly convex.

研究の動機と目的

• 平面グラフの交差のない強単調図形を構築するためのアルゴリズムを開発すること。
• 3連結平面グラフ、外部平面グラフ、および2-ツリーがこのような図形を許容することを確立すること。
• 強単調図形の面積要件を調査し、非木クラスにおいて多項式面積が達成可能かどうかを特定すること。
• 2連結平面グラフに対する強単調図形の存在を調査すること。これは、まだ完全に解決されていないクラスである。

提案手法

• 3連結平面グラフの強単調図形を生成するために、プライマル・デュアルの円パッキングを用いる。
• 特に非削除可能な木に対して、凸および厳密に凸な強単調図形を生成する新しいアルゴリズムを設計する。
• バブル配置による図形の拡張：既存の辺の近くの小さな半径のバブルに新しい頂点を挿入することで、強単調性を保持する。
• パラメータ r と ε を用い、r/ε が小さいようにすることで、エッジの方向とターゲット頂点へのベクトルとの間の角度制約を制御し、強単調性を保証する。
• 新しいバブルを通るパスの再ルーティングが、角度的安全条件（例：角度 < α/4）を維持することで、強単調性が保たれることを証明する。
• すべての頂点ペアに対して、図形が平面のままであり、強単調性の定義を満たしていることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3連結平面グラフは、強単調性と平面性を満たす図形に描画可能か？
• RQ2 外部平面グラフは、交差のない強単調図形を許容するか？
• RQ3 2-ツリーは、構成的アルゴリズムを用いて、強単調性と平面性を満たす図形に描画可能か？
• RQ4 非木クラスの平面グラフの強単調図形において、指数的面積が必要か？
• RQ5 すべての2連結平面グラフは、強単調図形を許容するか？

主な発見

• すべての3連結平面グラフは、プライマル・デュアルの円パッキングを用いて、交差のない強単調図形を許容する。
• 外部平面グラフは、凸および厳密に凸な木図形のための新しいアルゴリズムを用いて、交差のない強単調図形を許容する。
• すべての2-ツリーは、バブル挿入と角度制約の強制を用いて、交差のない強単調図形を許容する。
• 3つのグラフクラスすべての構成において指数的面積を要し、特に木に対してはこの境界がタイトである。
• コンピュータ支援探索により、強単調図形を許容しない一意の7頂点連結グラフが同定され、一般ケースにおける制限を示唆している。