[論文レビュー] Strongly Proximal Continuity \& Strong Connectedness

James F. Peters, C. Guadagni|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非空の内部を持つ集合に依存する強近さ関係である強近さに基づく、強プロキシマル連続性（s.p.c.）および強連結性を導入する。主な結果として、互いに適合する強近さを持つ空間間の全単射な強プロキシマル同値性（s.p.e.）が、強ヒット・ミス超位相を備えたその超空間上にホメオモルフィズムを誘導することを示し、強近さと超空間位相および連結性を結びつける。

ABSTRACT

This article introduces strongly proximal continuous (s.p.c.) functions, strong proximal equivalence (s.p.e.) and strong connectedness. A main result is that if topological spaces $X,Y$ are endowed with compatible strong proximities and $f:X\longrightarrow Y$ is a bijective s.p.e., then its extension on the hyperspaces $\CL(X)$ and $\CL(Y)$, endowed with the related strongly hit and miss hypertopologies, is a homeomorphism. For a topological space endowed with a strongly near proximity, strongly proximal connectedness implies connectedness but not conversely. Conditions required for strongly proximal connectedness are given. Applications of s.p.c. and strongly proximal connectedness are given in terms of strongly proximal descriptive proximity.

研究の動機と目的

• 強近さ公理を用いて強プロキシマル連続関数および強プロキシマル同値性を形式化すること。
• 強近さを備えた位相空間における強連結性の定義および分析すること。
• 強連結性が標準的位相的連結性を意味する条件を確立すること。
• 強近さに適合する強ヒット・ミス超位相を導入することで、超空間に関する結果を拡張すること。
• 特に計算的および幾何的応用において、記述的近さの文脈にこの枠組みを適用すること。

提案手法

• 非空の内部の交わりと点に基づく近さを強調する、公理(N0)–(N6)に基づく強近さを定義する。
• 部分集合間の強近さを保つ写像として、強プロキシマル連続（s.p.c.）関数を導入する。
• 両方向で近さを保つ全単射なs.p.c.関数として、強プロキシマル同値性（s.p.e.）を定義する。
• 強近さに基づく部分基底要素を用いて、超空間CL(X)およびCL(Y)上に強ヒット・ミス超位相を構成する。
• この超位相の下で、全単射なs.p.e.関数が超空間CL(X)とCL(Y)の間でホメオモルフィズムを誘導することを証明する。
• 鎖に基づく構成および正則開集合を用いて、強連結性および強近さにおける閉包性質を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強プロキシマル連結性が標準的位相的連結性を意味する条件は何か？
• RQ2 強プロキシマル連続性は、標準的位相的連続性とどのように関係するか？
• RQ3 超空間間の強プロキシマル同値性の下で、どのような位相的性質が保存されるか？
• RQ4 非空の内部の交わりを持つ開集合の鎖を用いて、強連結性を特徴づけられるか？
• RQ5 ある集合の閉包が依然として強連結であることを保証する条件は何か？

主な発見

• 全単射関数 f: X → Y が強プロキシマル同値性（s.p.e.）であるとき、強ヒット・ミス超位相を備えた超空間CL(X)とCL(Y)の間でホメオモルフィズムが誘導される。
• 強プロキシマル連結性は標準的連結性を意味するが、逆は成り立たない。本稿では反例によってこれを示している。
• 集合Aが、連続的に強く近い正則開集合の有限個の和集合であるならば、Aの閉包は強連結である。
• 任意の部分集合Gについて、A ⊆ G ⊆ cl(A) かつ Aが強連結であるとき、Gも同じ強近さの下で強連結である。
• 可算空間において、任意の連続する点のペアが共通の連結な内部を持つ開集合に含まれるならば、空間は強連結である。
• 強連結空間の任意の開被覆は、任意の二点を結ぶ強チェーンを備え、連続する集合が互いに強く近い。