[論文レビュー] Structural unification of space and time correlations in quantum theory

Shmuel Marcovitch, Benni Reznik|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2011

Quantum Mechanics and Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、二粒子系量子状態を時間発展写像へ写像するJamioó´lowski同型を用いて、空間的および時間的量子相関の構造的統一を提案する。弱測定の相関が空間的・時間的ともに正確に一致することを示し、空間における量子もつれが時間発展における時間的コherenceに対応することを明らかにする。最大もつれ状態はユニタリダイナミクスに、非最大もつれ状態は選択的測定に写像される。

ABSTRACT

We suggest a natural mapping between bipartite states and quantum evolutions of local states, which is a Jamiolkowski map. It is shown that spatial correlations of weak measurements in bipartite systems precisely coincide with temporal correlations of local systems. This mapping has several practical and conceptual implications on the correspondence between Bell and Leggett-Garg inequalities, the statistical properties of evolutions in large systems, temporal decoherence and computational gain, in evaluation of spatial correlations of large systems.

研究の動機と目的

• 量子力学における二粒子系量子状態と時間発展写像の間の形式的写像を確立すること。
• もつれ系における空間的弱測定相関が、単一系の時間的弱測定相関と同型であることを示すこと。
• ベルの不等式（空間的）とレッグレット＝ガルグの不等式（時間的）の間の概念的・実用的対応を明確にすること。
• デコherence、計算効率、および大規模量子系の統計的挙動に与える影響を検討すること。
• 非相対論的量子力学が本質的に空間的および時間的相関を統一していることを示す、構造的同型の意味を明らかにすること。

提案手法

• 二粒子密度行列の空間と、正規化されたKraus作用素で記述される量子時間発展の空間との間のJamioó´lowski同型を構築する。
• 最小の干渉をもたらす弱測定を用いて、空間的（二粒子系）および時間的（単一系の時間発展）設定における相関を調べる。
• Hilbert-Schmidt内積を用いて同型を定義し、空間的および時間的相関関数が正確に一致することを保証する。
• 時間的相関関数を $ E(q_1 q_2) = \frac{1}{2} \text{Tr}\left[ O_2 \sum_z M'_z \{O_1, \rho_S^{\text{in}}\} M_z^{\prime\dagger} \right] $ として導出する。ここで $ M'_z $ は正規化されたKraus作用素である。
• 写像が統計的性質を保存することを示し、$ D_T = D_S $ および $ N_T = N_S $ を確認することで同型が裏付けられる。
• 混合状態およびKraus作用素の凸結合への写像を拡張し、対応関係を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二粒子系における弱測定の空間的相関は、単一系における時間的相関に正確に写像可能か？
• RQ2 二粒子状態と時間発展の間の同型は、ベルの不等式およびレッグレット＝ガルグの不等式の破れとどのように関係するか？
• RQ3 この写像下で、大規模量子系の統計的挙動はいかなるものか。特に、ユニタリ発展が生じる確率は？
• RQ4 この写像は、状態のデコherenceと時間発展におけるデコheringの違いをどのように区別するか？
• RQ5 この同型は、相関関数やベルの不等式の境界を評価する際に計算上の利点をもたらすか？

主な発見

• 写像により、空間的および時間的量子相関の正確な同型が確立され、$ D_T = D_S $ および $ N_T = N_S $ の等式によりJamioó´lowski対応が裏付けられる。
• 最大もつれ状態は正確にユニタリ時間発展に写像され、非最大もつれ状態はトレースを保存しないKraus作用素による選択的測定に対応する。
• 純粋な積状態は射影測定に写像され、混合二粒子状態は時間発展の混合に写像される。
• この対応関係により、レッグレット＝ガルグの不等式がベルの不等式と同じ境界を持つこと、および最大破れが時間的状況では観測量のみに依存することの理由が説明される。これはユニタリ発展への写像に起因する。
• 大規模系では、この写像により、ほとんどすべての純粋な時間発展がほぼユニタリであることが示される。高次元ヒルベルト空間におけるほとんどすべての純粋状態が最大もつれに近いためである。
• 同型により計算上の利点が得られる：$ N \times N $ 二粒子系における二点相関関数の評価は、$ N \times N $ 行列演算に還元され、$ N^2 \times N^2 $ 行列を避けることができる。