[論文レビュー] Structure of partially hyperbolic Hénon maps

M. S. Lyubich, Han Peters|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ジュリア集合上で分離的分解を有する顕著に散逸的複素ヘノン写像が、移動しないファトウ成分をもたず、周期的ファトウ成分は有限個（それぞれ吸引的または抛物型）であり、$J = J^*$ を満たすことを確立する。ここで $J^*$ は鞍点の周期的点の閉包を表す。証明は、Mañé の技法を2次元に拡張するもので、$J^+$ の近傍における人工的な垂直ラミネーションと水平拡張の議論を用い、抛物型周期軌道を除く領域で双曲性を示す。

ABSTRACT

We consider the structure of substantially dissipative complex Hénon maps admitting a dominated splitting on the Julia set. The dominated splitting assumption corresponds to the one-dimensional assumption that there are no critical points on the Julia set. Indeed, we prove the corresponding description of the Fatou set, namely that it consists of only finitely many components, each either attracting or parabolic periodic. In particular there are no rotation domains, and no wandering components. Moreover, we show that $J = J^\star$ and the dynamics on $J$ is hyperbolic away from parabolic cycles.

研究の動機と目的

• 顕著に散逸的ヘノン写像において、移動しないファトウ成分が存在するかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 分離的分解の条件下で、1次元古典的「移動しない領域が存在しない定理」を2次元ヘノン写像設定に拡張すること。
• 分離的分解の条件下で $J = J^*$ が成り立ち、$J$ 上の力学は有限個の抛物型周期軌道を除いて双曲的であることを確立すること。
• このような写像がパrameter空間における双曲性領域の境界上に位置することを示し、抛物型周期軌道による非双曲性を示すこと。

提案手法

• 非再帰的臨界点を有する1次元写像に対するMañéの技法を、2次元ヘノン設定に適応すること。
• $J^+$ の近傍における人工的な垂直ラミネーションを導入する。これは不変ではないが、次数の制御とラミネーションの比較を容易にする。
• 分離的分解を用いて水平コーン場を定義し、抛物型周期軌道を除く領域で水平方向への一様な拡張性を証明すること。
• 人工ラミネーションと移動する成分における力学的強い安定ラミネーションを比較し、反復次数の上限を評価することで、移動行動の防止を示すこと。
• ヘノン設定に適応された $\lambda$-lemm の精密版を適用し、ホロノミー写像とラミネート構造を制御すること。
• 鞍点の安定多様体が $J^+$ 全体に蓄積することを用いて、$J^*$ が $J$ で稠密であることを示し、$J = J^*$ を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 顕著に散逸的ヘノン写像がジュリア集合上で分離的分解を有する場合、移動しないファトウ成分が存在しうるか？
• RQ2 1次元力学系における「移動しない領域が存在しない定理」は、このクラスの2次元ヘノン写像に拡張可能か？
• RQ3 分離的分解の条件下で、ジュリア集合 $J$ は鞍点の周期的点の閉包 $J^*$ と等しいか？
• RQ4 これらの仮定の下でファトウ集合の力学的構造はいかなるものか？
• RQ5 抛物型周期軌道の存在が、パrameter空間における双曲性と境界構造にどのように影響するか？

主な発見

• 分離的分解を有する顕著に散逸的ヘノン写像には、移動しないファトウ成分が存在しない。
• ファトウ集合は、有限個の周期的成分から構成され、それぞれが吸引的または抛物型の吸引域である。
• $J = J^*$ が成り立ち、ジュリア集合は鞍点の周期的点の閉包であるため、$J$ に孤立点は含まれない。
• $J$ 上の力学は、有限個の抛物型周期軌道を除いて双曲的であり、水平方向に一様な拡張性を示す。
• この写像はヘノン型写像族における双曲性領域の境界上に位置しており、小さな摂動によって抛物型周期軌道が分岐するため、非双曲的である。
• 吸引的および抛物型周期軌道の数は有限であり、その有限性は、それらが分離的分解領域に存在できないという事実に起因する。