[論文レビュー] Structure of the cycle map for Hilbert schemes of families of nodal curves

Ziv Ran|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ノード曲線の族に対する相対ヒルベルト多様体から相対対称積へのサイクル写像が、複数点を持つサイクルをパラメトライズする特異点集合（判別式）のブローアップに同型であることを確立する。主な貢献は、判別式ポラリゼーションがブローアップ上の $±\mathcal{O}(1)$ ラインバンドルの引き戻しとして特定されることであり、ノードスクリールとポリスクリールは、正規化された全空間上の射影バンドルを介してヒルベルト多様体の特異点層化を幾何的に分解する。

ABSTRACT

We study the relative Hilbert scheme of a family of nodal (or smooth) curves, over a base of arbitrary dimension, via its (birational) cycle map, going to the relative symmetric product. We show the cycle map is the blowing up of the discriminant locus, which consists of cycles with multiple points. We determine the relevant cotangent sheaves and complexes. We determine the structure of certain projective bundles called node scrolls, which play an important role in the geometry of Hilbert schemes.

研究の動機と目的

• 任意の次元の基底 $B$ 上のノード曲線族に対する相対ヒルベルト多様体 $X^{[m]}_B$ の幾何を理解すること。
• 相対対称積 $X^{(m)}_B$ へのサイクル写像 $c_m: X^{[m]}_B \to X^{(m)}_B$ の構造を明確化すること。
• サイクル内の重複点によって誘導される層化に基づいて、$X^{[m]}_B$ の特異点集合を特徴づけること。
• ノードスクリールとポリスクリールを幾何的道具として導入・研究し、対称積を超える高次の情報を符号化すること。
• 判別式ポラリゼーションをヒルベルト多様体の交線論における中心的対象として確立し、ブローアップ上の $±\mathcal{O}(1)$ バンドルと関連づけること。

提案手法

• 相対ヒルベルト多様体の局所モデル $H$ への還元を、定義イデアルの明示的計算を可能にするために行う。
• その相対カルテシアン積におけるイデアル $G$ の構成を行い、$H$ への引き戻しに対応するキルビジーを導出し、$G$ のブローアップから $H$ への写像 $\gamma$ を得る。
• $\gamma$ が同型であり、$G$ が順序付き判別式（大きな対角）を定義することを証明し、ブローアップ構造を確立する。
• 混合バナホーディアン行列式と順序論的議論を用いて、局所的定義方程式を解析し、同型性を検証する。
• ノードスクリール $F^{m,n}_j(\theta)$ を、正規化されたヒルベルト多様体上の $\mathbb{P}^1$-バンドルとして定義し、ノードにおける高次の「勾配」データをパラメトライズする。
• ファイバー積分解法を用いてポリスクリールに拡張し、標準的 $\mathcal{O}(1,\dots,1)$ ポラリゼーションが判別式ポラリゼーションの差 $-\Gamma^{(m)} + \Gamma^{(m-|n|)}$ に一致することを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイクル写像 $c_m$ が相対ヒルベルト多様体から相対対称積への写像として、ある部分多様体のブローアップに同型であるか。その場合、どの部分多様体のブローアップか？
• RQ2 ノードスクリールとポリスクリールは、ヒルベルト多様体 $X^{[m]}_B$ の特異点層化をどのように分解するか？
• RQ3 判別式ポラリゼーション $\Gamma^{(m)}$ は、ヒルベルト多様体の交線論において、正確にどのような幾何的・コホホロジー的役割を果たすか？
• RQ4 ノードにおける高次の「勾配」パラメータ（ノードスクリールに符号化）は、古典的な対称積記述をどのように拡張するか？
• RQ5 ヒルベルト多様体の構造は、正規化された全空間上の射影バンドルを用いて、グローバルに記述可能か？

主な発見

• サイクル写像 $c_m$ は、複数点を持つサイクルをパラメトライズする判別式集合 $D^m \subset X^{(m)}_B$ のブローアップに同型である。
• 判別式除数の引き戻しは $2\Gamma^{(m)} = c_m^{-1}(D^m)$ を満たし、$-2\Gamma^{(m)}$ はブローアップ上の $\mathcal{O}(1)$ バンドルに一致する。
• ノードスクリール $F^{m,n}_j(\theta)$ は $\mathbb{P}(\mathcal{O}(D^n_j(\theta)) \oplus \mathcal{O}(D^n_{j+1}(\theta)))$ に同型であり、$\mathcal{O}(1)$ はポラリゼーション $-\Gamma^{(m)} + \Gamma^{(m-n)}$ と一致する。
• ノードポリスクリール $F^{m,n.}_{j.}(\theta)$ は、正規化されたヒルベルト多様体 $(X^{\theta.})^{[m-|n|]}$ 上の $\mathbb{P}^1$-バンドルの積に同型であり、$\mathcal{O}(1,\dots,1)$ は $-\Gamma^{(m)} + \Gamma^{(m-|n|)}$ に一致する。
• 判別式ポラリゼーション $\Gamma^{(m)}$ はカルティエ除数であり、$\mathcal{O}(-\Gamma^{(m)})$ はブローアップ上の自然なポラリゼーションであり、交線論において中心的役割を果たす。
• この構成により、ノードスクリールを通じてスムジィー曲線のモジュライ空間の幾何的対応が得られ、表面ヒルベルト多様体上のナカジマ作用素と類似する構造が得られる。