[論文レビュー] Structure of Virasoro tensor categories at central charge $13-6p-6p^{-1}$ for integers $p > 1$

Robert McRae, Jinwei Yang|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 53被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、整数 $p > 1$ に対して中心電荷 $c = 13 - 6p - 6p^{-1}$ の Virasoro 圏 $ olimits\mathcal{O}_c$ の完全なテンソル圏構造を確立し、剛性を証明し、すべての単純モジュールおよびその射影被覆を含むファション規則を計算し、$ olimits\mathcal{O}_c$ の半単純化が、レベル $-2 + p^{\pm 1}$ の $ olimits\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ の Kazhdan-Lusztig 圏に同値な2つの圏のデリーニュ積に等しいことを示している。さらに、$ olimits\mathcal{O}_c^0$ が $W(p)$-モジュール圏の $ olimits\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$-不変化とブラケットテンソル同値であるという予想を証明している。

ABSTRACT

Let $\mathcal{O}_c$ be the category of finite-length central-charge-$c$ modules for the Virasoro Lie algebra whose composition factors are irreducible quotients of reducible Verma modules. Recently, it has been shown that $\mathcal{O}_c$ admits vertex algebraic tensor category structure for any $c\in\mathbb{C}$. Here, we determine the structure of this tensor category when $c=13-6p-6p^{-1}$ for an integer $p>1$. For such $c$, we prove that $\mathcal{O}_{c}$ is rigid, and we construct projective covers of irreducible modules in a natural tensor subcategory $\mathcal{O}_{c}^0$. We then compute all tensor products involving irreducible modules and their projective covers. Using these tensor product formulas, we show that $\mathcal{O}_c$ has a semisimplification which, as an abelian category, is the Deligne product of two tensor subcategories that are tensor equivalent to the Kazhdan-Lusztig categories for affine $\mathfrak{sl}_2$ at levels $-2+p^{\pm 1}$. Next, as a straightforward consequence of the braided tensor category structure on $\mathcal{O}_c$ together with the theory of vertex operator algebra extensions, we rederive known results for triplet vertex operator algebras $\mathcal{W}(p)$, including rigidity, fusion rules, and construction of projective covers. Finally, we prove a recent conjecture of Negron that $\mathcal{O}_c^0$ is braided tensor equivalent to the $PSL(2,\mathbb{C})$-equivariantization of the category of $\mathcal{W}(p)$-modules.

研究の動機と目的

• 整数 $p > 1$ に対して、半単純でも有限でもない、中心電荷 $c = 13 - 6p - 6p^{-1}$ の Virasoro 圏 $ olimits\mathcal{O}_c$ の完全なテンソル圏構造を特定すること。
• $\nolimits\mathcal{O}_c$ が剛性を示し、単純モジュールおよびその射影被覆を含むすべてのテンソル積を計算すること。
• $\nolimits\mathcal{O}_c$ の半単純化が、レベル $-2 + p^{\pm 1}$ の $ olimits\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ の Kazhdan-Lusztig 圏に同値な2つの圏のデリーニュ積に等しいことを示すこと。
• ブラケットテンソル構造と頂点演算子代数の拡張理論を用いて、既知の結果（特に剛性とファション規則）を、三重体頂点演算子代数 $W(p)$ に対して再導出すること。
• ネグロンが提起した最近の予想、すなわち、部分圏 $\nolimits\mathcal{O}_c^0$ が $W(p)$-モジュール圏の $ olimits\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$-不変化とブラケットテンソル同値であることを証明すること。

提案手法

• 頂点代数的相互作用作用素と Zhu 代数の構成を用いて、$\nolimits\mathcal{O}_c$ 内のファション規則とテンソル積構造を分析すること。
• $G = \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ の作用を用いて、テンソル部分圏 $\nolimits\mathcal{O}_c^0$ 内で単純モジュールの射影被覆を構成すること。
• 頂点演算子代数の拡張理論を適用し、$\nolimits\mathcal{O}_c$ のブラケットテンソル構造から、三重体代数 $W(p)$ に関する既知の結果（剛性とファション規則）を再導出すること。
• 誘導関手と不変関手を用いて、$\nolimits\mathcal{O}_c^0$ と $W(p)$-モジュール圏の $G$-不変化との間でブラケットテンソル同値を確立すること。
• 正確な関手と自然同型を用いて、誘導-不変関手の合成 $F \circ I$ が恒等関手と自然同型であることを証明し、同値性を確認すること。
• $W(p)$ が $V_c$-モジュールとして半単純であること、および $G$ の単純モジュールの有限次元性を活用し、モジュールを分解し、不変量を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数 $p > 1$ に対して、中心電荷 $c = 13 - 6p - 6p^{-1}$ の $\nolimits\mathcal{O}_c$ の完全なテンソル圏構造は何か？
• RQ2 $\nolimits\mathcal{O}_c$ は剛性を示すか？ その単純対象のカテゴリカル次元は何か？
• RQ3 $\nolimits\mathcal{O}_c$ 内で、単純モジュールおよびその射影被覆のテンソル積はどのように分解されるか？
• RQ4 $\nolimits\mathcal{O}_c$ の半単純化は何か？ それはデリーニュ積としてどのように分解されるか？
• RQ5 $\nolimits\mathcal{O}_c^0$ は $W(p)$-モジュール圏の $ olimits\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$-不変化とブラケットテンソル同値か？

主な発見

• $\nolimits\mathcal{O}_c$ は整数 $p > 1$ に対して中心電荷 $c = 13 - 6p - 6p^{-1}$ で剛性を示し、すべての単純モジュールが明確に定義されたカテゴリカル次元を持つ。
• $\nolimits\mathcal{O}_c$ 内で、単純モジュールおよびその射影被覆のすべてのテンソル積が明示的に計算され、完全なファション規則の記述が得られた。
• $\nolimits\mathcal{O}_c$ の半単純化は、レベル $-2 + p^{\pm 1}$ の $ olimits\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ の Kazhdan-Lusztig 圏に同値な2つのテンソル圏のデリーニュ積に同値である。
• 三重体頂点演算子代数 $W(p)$ に関する既知の結果（剛性とファション規則）が、$\nolimits\mathcal{O}_c$ のブラケットテンソル構造と頂点演算子代数の拡張理論を用いて再導出された。
• $\nolimits\mathcal{O}_c^0$ が $W(p)$-モジュール圏の $ olimits\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$-不変化とブラケットテンソル同値であることが証明され、ネグロンの予想が確認された。
• 誘導関手 $F$ と不変関手 $I$ は、$\nolimits\mathcal{O}_c^0$ と $\mathrm{Rep}\,W(p)$ の $G$-不変化との間で、互いに逆の同値関手を形成し、完全な同値性が確立された。