[論文レビュー] Kazhdan--Lusztig correspondence for the representation category of the triplet W-algebra in logarithmic CFT

BL Feigin, AM Gainutdinov+2 more|ArXiv.org|Dec 28, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、対数的 conformal field theory における三重項 $ω(p)$-代数の表現カテゴリと、$ρ = e^{i\pi/p}$ における制限量子群 $ρ_{\mathfrak{q}}\mathfrak{sl}(2)$ の有限次元表現カテゴリの間で、Kazhdan–Lusztig対応を確立する。$p=2$ の場合、双モジュール構成を用いて明示的に同値性を証明し、すべての非分解的表現を射影的表現およびクライナーク・クワイバーからのものに分類し、普遍 $R$-行列を用いた中心および braiding の完全な同定を達成する。

ABSTRACT

To study the representation category of the triplet W-algebra W(p) that is the symmetry of the (1,p) logarithmic conformal field theory model, we propose the equivalent category C(p) of finite-dimensional representations of the restricted quantum group $U_q SL2$ at $q=e^{\frac{iπ}{p}}$. We fully describe the category C(p) by classifying all indecomposable representations. These are exhausted by projective modules and three series of representations that are essentially described by indecomposable representations of the Kronecker quiver. The equivalence of the W(p)- and $U_q SL2$-representation categories is conjectured for all $p\ge 2$ and proved for p=2, the implications including the identifications of the quantum-group center with the logarithmic conformal field theory center and of the universal R-matrix with the braiding matrix.

研究の動機と目的

• 三重項 $ω(p)$-代数の非単純表現カテゴリと、制限量子群 $ρ_{\mathfrak{q}}\mathfrak{sl}(2)$ のそれとの間でカテゴリカル同値性を確立すること。
• $\mathfrak{q} = e^{i\pi/p}$ における有限次元 $ρ_{\mathfrak{q}}\mathfrak{sl}(2)$-モジュールのカテゴリ $\mathscr{C}_p$ におけるすべての非分解的表現を分類すること。
• $p=2$ に対して、二重モジュール構成を用いて同値性を明示的に証明すること。
• conformal field theory のデータ（特に中心および braiding）を、普遍 $R$-行列や量子群の中心といった量子群のデータと同定すること。

提案手法

• 両方の代数 $\boldsymbol{\mathcal{W}}(2)$ および $\overline{\mathscr{U}}_{\mathfrak{q}}\mathfrak{sl}(2)$ に関して射影的である双モジュールを構成し、それによって両者の表現カテゴリの同値性を誘導すること。
• ボソン化技術を用いて $\boldsymbol{\mathcal{W}}(2)$-代数をシンプレクティックフェルミオンと関連づけ、双モジュール構造の明示的実現を可能にすること。
• $\mathscr{C}_p$ を射影的モジュールとクライナーク・クワイバーに関連するモジュールに分解することにより、$\overline{\mathscr{U}}_{\mathfrak{q}}\mathfrak{sl}(2)$-モジュールのすべての非分解的モジュールを分類すること。
• 既知のクライナーク・クワイバー $\boldsymbol{\mathrm{K}}$ の非分解的表現の分類を活用し、実根（$n \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$ でラベル付け）と虚根（$n \in \mathbb{Z}_{\geq 1}, z \in \mathbb{C}\mathbb{P}^1$ でラベル付け）を区別すること。
• 普遍 $R$-行列とトーラス上の conformal block を用いて、$\boldsymbol{\mathcal{W}}(p)$-カテゴリの中心を量子群カテゴリの中心と同定すること。
• Ext代数 $\mathrm{Ext}^\bullet$ を用いてカテゴリ構造を再構成し、ファッキング規則および表現論のレベルで同値性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三重項 $ω(p)$-代数の表現カテゴリは、$ρ = e^{i\pi/p}$ における制限量子群 $ρ_{\mathfrak{q}}\mathfrak{sl}(2)$ のそれとカテゴリカル同値であるか？
• RQ2 $\overline{\mathscr{U}}_{\mathfrak{q}}\mathfrak{sl}(2)$ の非分解的表現は完全に分類可能か？また、クワイバー表現とどのように関係するか？
• RQ3 Kazhdan–Lusztig対応は、対数的 CFT においてカテゴリ同値に拡張可能か、特に $p=2$ に対してそうか？
• RQ4 $\boldsymbol{\mathcal{W}}(p)$-および $ρ_{\mathfrak{q}}\mathfrak{sl}(2)$-カテゴリの中心はどのように関係し、普遍 $R$-行列と同定可能か？

主な発見

• $p=2$ の場合、$\boldsymbol{\mathcal{W}}(2)$ と $\overline{\mathscr{U}}_{\mathfrak{q}}\mathfrak{sl}(2)$ の表現カテゴリは、双モジュール構成によって同値であり、Kazhdan–Lusztig対応がカテゴリカル同値として証明された。
• $\mathscr{C}_p$ 内のすべての非分解的表現は分類済みである：射影的モジュールと、クライナーク・クワイバーから導かれる3つの系列から構成され、2つの系列は $n \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$ および $z \in \mathbb{C}\mathbb{P}^1$ でラベル付けされ、1つの系列は $n \in \mathbb{Z}_{\geq 2}$ でラベル付けされる。
• $\boldsymbol{\mathcal{W}}(p)$-カテゴリの中心は、量子群カテゴリの中心と同定され、普遍 $R$-行列は conformal field theory の braiding 行列に対応する。
• $\boldsymbol{\mathcal{W}}(p)$-表現のファッキング環は、$\overline{\mathscr{U}}_{\mathfrak{q}}\mathfrak{sl}(2)$ のそれと一致し、Grothendieck 環のレベルで同値性が確認された。
• $\overline{\mathscr{U}}_{\mathfrak{q}}\mathfrak{sl}(2)$-モジュールの分類は完全に達成された：非分解的モジュールは、射影的か、実根 $\alpha = (n+1,n)$ または $\alpha = (n,n+1)$、あるいは虚根 $\delta = (1,1)$（$\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ でパラメータ化）に対応する。
• 同値性により、表現論的データを直接移行可能である：$\boldsymbol{\mathcal{W}}(p)$-モジュールの研究は、クワイバー理論を用いてより取り扱いやすい有限次元 $\overline{\mathscr{U}}_{\mathfrak{q}}\mathfrak{sl}(2)$-モジュールの研究に帰着可能である。