[論文レビュー] Structured vector bundles define differential K-theory

James Simons, Dennis Sullivan|ArXiv.org|Oct 28, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、チェーン＝サイモンズ差分形式が正確であるという同値類を備えた接続を備えた複素ベクトル bundle である構造的ベクトル束を導入し、微分 K 理論の幾何的モデルとして提示する。この束の同型類の半環にグロテンディーク構成を適用することで、元の K 理論類とチェーン＝ウェイル形式による同値類の下で一意に定まる、$\hat{K}$ と表される環を構成する。この環は、基底多様体の奇数次ベッチ数の和に等しい次元の複素トーラスを法として、一意に定まる。

ABSTRACT

A equivalence relation, preserving the Chern-Weil form, is defined between connections on a complex vector bundle. Bundles equipped with such an equivalence class are called Structured Bundles, and their isomorphism classes form an abelian semi-ring. By applying the Grothedieck construction one obtains the ring K, elements of which, modulo a complex torus of dimension the sum of the odd Betti numbers of the base, are uniquely determined by the corresponding element of ordinary K and the Chern-Weil form. This construction provides a simple model of differential K-theory, c.f.Hopkins-Singer (2005), as well as a useful codification of vector bundles with connection.

研究の動機と目的

• 微分 K 理論の単純で幾何的なモデルを構築し、ベクトル束と接続、閉じた微分形式を統合する。
• 数学的に厳密かつ計算的に有用な方法で、複素ベクトル束と接続を体系化する。
• 微分 K 理論環 $\hat{K}$ の要素が、その元の K 理論類とチェーン＝ウェイル形式によって、複素トーラスを法として一意に定まることを示す。
• 微分 K 理論が通常の K 理論と de Rham コホモロジーに接続する、ボクシュタインと de Rham の系列を模倣する正確な系列の図式を確立する。
• このモデルをエルミートベクトル束とユニタリ接続へと拡張し、調和的チェーン＝ウェイリュール形式を持つ接続の存在を示す。

提案手法

• 2つの接続がそれらのチェーン＝サイモンズ差分形式が正確である場合に同値であるという同値関係を、複素ベクトル束の接続に定義する。
• $(V, \{\nabla\})$ の形の構造的束を定義する。ここで $V$ は複素ベクトル束であり、$\{\nabla\}$ はこの同値関係による接続の同値類である。
• 同型類のなすアーベル半環 $\text{Struct}$ を構成し、グロテンディーク構成を適用して環 $\hat{K}$ を得る。
• de Rham コホモロジー、チェーン＝ウェイリュール写像、$\mathbb{Z}$ を法とする還元、ボクシュタイン写像を含む、正確な対角線を持つ可換図式を構成する。
• 付録 A のホモトピー的特徴付けを用いて、チェーン＝ウェイリュール写像 $ch$ の核が $K(C/\mathbb{Z})$ と同型であることを証明する。
• 任意の閉じたリーマン多様体上のベクトル束に対して、安定化を施した後、そのチェーン＝ウェイリュール形式がベクトル束のチェーン類の調和代表元であるユニタリ接続が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的ベクトル束と接続を用いて、微分 K 理論の幾何的モデルを構築できるか？
• RQ2 微分 K 理論環 $\hat{K}$ は、その元の K 理論類とチェーン＝ウェイリュール形式によって、複素トーラスを法として一意に定まるか？
• RQ3 複素数上でチェーン類が消える任意の複素ベクトル束は、安定化を施した後、チェーン＝ウェイリュール形式が消える接続を持つか？
• RQ4 このモデルをエルミートベクトル束とユニタリ接続へと拡張できるか？また、調和代表元を持つ接続の存在が保証されるか？
• RQ5 このモデルはどの程度 Mayer-Vietoris 性質を満たし、場の理論における局所性とどのように関係するか？

主な発見

• グロテンディーク完成化による構造的束の半環から得られる環 $\hat{K}$ は、通常の K 理論と閉じた微分形式のファイバー積と同型である微分 K 理論の幾何的モデルを提供する。
• 環 $\hat{K}$ の要素は、基底多様体の奇数次ベッチ数の和に等しい次元の複素トーラスを法として、その元の K 理論類とチェーン＝ウェイリュール形式によって一意に定まる。
• $\wedge_{BGL}$ の任意の要素は、安定化された束上の接続のチェーン類形式として現れることから、$\mathbb{C}$ 上で特徴類がゼロの任意の束は、安定化を施した後、チェーン＝ウェイリュール形式がゼロである接続を持つことが示される。
• 任意の閉じたリーマン多様体上の複素ベクトル束に対して、安定化を施した後、そのチェーン＝ウェイリュール形式がベクトル束のチェーン類の調和代表元であるユニタリ接続が存在する。
• 奇数次ベッチ数がすべてゼロの場合、構造的束は、自明なホロノミー束の加法を除いて一意的であるため、奇数コホモロジーが存在しない状況では剛性が現れる。
• 定理 3.9 で示されるように、モデルは Mayer-Vietoris 性質を満たしており、場の理論や量子重力における局所的構成に適していることを支持する。