[論文レビュー] SU(3)-structures and Special Lagrangian Geometries

Feng Xu|ArXiv.org|Oct 17, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、可積分でない almost complex 構造を 允許するが、豊かな special Lagrangian 幾何を保つように一般化された admissible SU(3)-構造と、その部分クラスである nearly Calabi-Yau 構造を導入する。Calabi-Yau 3-fold の一般化であり、twistor 空間を用いた自Dual Einstein 4-多様体から明示的な例を構成し、nearly Calabi-Yau 多様体におけるコンパクト special Lagrangian 部分多様体のモジュライ空間が、Calabi-Yau 場合と同様に、有限次元であることを証明する。

ABSTRACT

We generalize Calabi-Yau 3-folds from the special Lagrangian perspective. More precisely, we study SU(3)-structures which admit as "nice" a local special Lagrangian geometry as the flat $\mathbf{C}^3$ or a Calabi-Yau structure does. The underlying almost complex structure may not be integrable. Such SU(3)-structures are called {\it admissible}. Among these, we are particularly interested in a subclass of SU(3)-structures called {\it nearly Calabi-Yau}. We discuss the local generalities of admissible SU(3)-structures and nearly Calabi-Yau structures in Cartan's sense. Examples of nearly Calabi-Yau but non-Calabi-Yau structures as well as other admissible SU(3)-structures are constructed from the twistor spaces of self-dual Einstein 4-manifolds. Two classes of examples of complete special Lagrangian submanifolds are found by considering the anti-complex involution of the underlying SU(3)-structures. We finally show that the moduli space of compact special Lagrangian submanifolds in a nearly Calabi-Yau manifold behaves in the same way as the moduli in the Calabi-Yau case.

研究の動機と目的

• 平坦な C^3 や Calabi-Yau 多様体と同程度の局所的 special Lagrangian 部分多様体を許容するが、可積分でない almost complex 構造を許す SU(3)-構造を研究することにより、Calabi-Yau 3-fold の一般化を図ること。
• special Lagrangian 外微分系が involutive であることを満たす admissible SU(3)-構造を定義・解析すること。これにより、可積分でない almost complex 構造を許容する。
• admissible 構造の部分クラスとして nearly Calabi-Yau 構造を導入・解析すること。これは、PDE 系が至る所で involutive であるため、より幾何的解析に適している。
• self-dual Einstein 4-多様体の twistor 空間を用いて、完全で Calabi-Yau でない admissible SU(3)-構造の例を構成すること。
• nearly Calabi-Yau 多様体におけるコンパクト special Lagrangian 一部分多様体のモジュライ空間が、Calabi-Yau 場合と同様に有限次元であることを証明すること。

提案手法

• Cartan の EDS 理論に基づき、special Lagrangian 外微分系の involutivity を条件として admissible SU(3)-構造を定義する。
• PDE 系が至る所で involutive であるようなクラスとして nearly Calabi-Yau 構造を導入し、より良い幾何的性質を保証する。
• self-dual Einstein 4-多様体の twistor 構成を用いて例を構成し、これらは自然に SU(3)-構造を持つ。
• SU(3)-構造上の反複素構造（anti-complex involution）を用いて、固定集合として完全な special Lagrangian 一部分多様体を生成する。
• Banach 空間における陰関数定理を用いて、nearly Calabi-Yau 多様体における special Lagrangian 一部分多様体の 1 パラメータ族の存在を証明する。
• Hodge 理論と Lie 微分を用いてモジュライ空間の接空間を解析し、次元が b^1(N_0)+1 であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(3)-構造は、可積分な複素構造を要件としない範囲で、Calabi-Yau から一般化可能であり、平坦な C^3 や Calabi-Yau 多様体と同程度の局所的 special Lagrangian 幾何を保つことができるか？
• RQ2 special Lagrangian 外微分系が involutive であるための条件は何か？ そして、これらは Calabi-Yau 条件をどのように一般化するか？
• RQ3 complete special Lagrangian 一部分多様体を許容するが、Calabi-Yau でない SU(3)-構造の例は存在するか？
• RQ4 nearly Calabi-Yau 多様体におけるコンパクト special Lagrangian 一部分多様体のモジュライ空間は、Calabi-Yau 場合と比べてどのように振る舞うか？
• RQ5 SU(3)-構造上の反複素構造を用いて、明示的かつ完全な special Lagrangian 一部分多様体を構成できるか？

主な発見

• admissible SU(3)-構造は、可積分でない almost complex 構造を許容しつつも、局所的 special Lagrangian 幾何を保つことで、Calabi-Yau 3-fold を一般化する。
• nearly Calabi-Yau 構造は、admissible SU(3)-構造の部分クラスであり、PDE 系が至る所で involutive であるため、幾何的解析に適している。
• self-dual Einstein 4-多様体の twistor 空間から、非 Calabi-Yau の admissible SU(3)-構造の例が構成され、これは双曲的 4-空間およびそのコンpact 商を含む。
• SU(3)-構造上の反複素構造の固定集合は、完全な special Lagrangian 一部分多様体を生成し、特に nearly Kähler な射影的 3-空間および双曲的 4-空間の twistor 空間において明示的構成が可能である。
• nearly Calabi-Yau 多様体におけるコンパクト special Lagrangian 一部分多様体のモジュライ空間は、次元 b^1(N_0)+1 で有限次元であり、Calabi-Yau 場合と一致する。
• Banach 空間における陰関数定理を用い、Hodge 理論と Lie 微分解析を組み合わせることで、nearly Calabi-Yau 多様体における special Lagrangian 一部分多様体の 1 パラメータ族の存在が確立された。