[論文レビュー] Lectures on Calabi-Yau and special Lagrangian geometry

Dominic Joyce|ArXiv.org|Aug 13, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 33被引用数 79

ひとこと要約

本稿は、リーマン幾何的ホロノミーとキャリブレーション幾何学に焦点を当て、カラビ–ヤウおよび特別ラグランジュ（SL）幾何学について包括的な紹介を提供する。微分幾何的枠組みを確立し、カラビ–ヤウ多様体内のSL m-部分多様体を構成し、その特異点を調査する。特異点がデーンねじりのような位相的遷移によって生じる可能性を提起し、特にSYZ予想および弦理論における鏡像対称性に与える影響を示唆する。

ABSTRACT

This paper gives a leisurely introduction to Calabi-Yau manifolds and special Lagrangian submanifolds from the differential geometric point of view, followed by a survey of recent results on singularities of special Lagrangian submanifolds, and their application to the SYZ Conjecture. It is aimed at graduate students in Geometry, String Theorists, and others wishing to learn the subject, and is designed to be fairly self-contained. It is based on lecture courses given at Nordfjordeid, Norway and MSRI, Berkeley in June and July 2001. We introduce Calabi-Yau m-folds via holonomy groups, Kahler geometry and the Calabi Conjecture, and special Lagrangian m-folds via calibrated geometry. `Almost Calabi-Yau m-folds' (a generalization of Calabi-Yau m-folds useful in special Lagrangian geometry) are explained and the deformation theory and moduli spaces of compact special Lagrangian submanifolds in (almost) Calabi-Yau m-folds is described. In the final part we consider isolated singularities of special Lagrangian m-folds, focussing mainly on singularities locally modelled on cones, and the expected behaviour of singularities of compact special Lagrangian m-folds in generic (almost) Calabi-Yau m-folds. String Theory, Mirror Symmetry and the SYZ Conjecture are briefly discussed, and some results of the author on singularities of special Lagrangian fibrations of Calabi-Yau 3-folds are described.

研究の動機と目的

• リーマン幾何的ホロノミーとケーラー幾何学を通じてカラビ–ヤウ m-多様体を導入し、その微分幾何的構造に焦点を当てる。
• キャリブレーション幾何学を用いて特別ラグランジュ m-部分多様体を定義・研究し、その剛性およびモジュライ空間の性質に注目する。
• SL m-部分多様体およびファイブレーションの特異点を解析し、特にSYZ予想および鏡像対称性の文脈で考察する。
• ほぼカラビ–ヤウ 3-多様体のSLファイブレーションにおけるcodimension-oneおよびcodimension-two特異点の局所モデルを提案する。
• SLファイブレーションの幾何学および弦理論における役割に関して、未解決問題や予想を特定することで、今後の研究を促進する。

提案手法

• カラビ–ヤウ多様体をリッチ平坦なケーラー多様体かつ自明な正則バンドルを持つものとして特徴付けるために、リーマン幾何的ホロノミー群を用いる。
• ヤウによるカラビ予想の証明を応用し、特にファノ多様体から代数幾何学的手法を用いてカラビ–ヤウ多様体を構成する。
• 特異ラグランジュ部分多様体を、正則体積形式に関するキャリブレーション部分多様体として定義し、最小性および剛性を保証する。
• U(1)-不変族を用いてℂ^mにおけるSL m-部分多様体の明示的例を構成し、座標系における特別ラグランジュ方程式を解く。
• ℂ^3 → ℝ×ℂ への分岐滑らかファイブレーション F を導入し、特異ファイバーがデーンねじりを経験するようにし、codimension-one特異点をモデル化する。
• インデックス理論および摂動安定性に基づき、このファイブレーションが、ほぼカラビ–ヤウ 3-多様体の一般的なSLファイブレーションにおけるcodimension-one特異点の局所モデルであると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カラビ–ヤウ 3-多様体内の特別ラグランジュファイブレーションの特異点はどのように生じるのか？ そして、それらの形成を支配する位相的メカニズムは何か？
• RQ2 分岐滑らかファイブレーション F: ℂ^3 → ℝ×ℂ で観察されたデーンねじり遷移は、一般のSLファイブレーションにおけるcodimension-one特異点の局所モデルとして一般化可能か？
• RQ3 U(1)-不変族は、特徴的な特異ファイバーを有する特別ラグランジュファイブレーションの構成および分類において果たす役割は何か？
• RQ4 特異SL m-部分多様体は、SL m-部分多様体のモジュライ空間内での滑らかな変形の極限としてどのようにして現れるか？
• RQ5 モジュライ空間が滑らかであっても、SLファイブレーションが存在しない場合があるのはどのような状況か？ そして、そのような場合に生じる位相的障害は何か？

主な発見

• ファイブレーション F: ℂ^3 → ℝ×ℂ は連続的かつ全射的であり、分岐滑らかである。レベル集合は特別ラグランジュ 3-部分多様体である。
• a ≠ 0 のとき、ファイバー F^{-1}(a,b) は非特異的（S^1 × ℝ^2 微分同相）であり、a = 0 のとき特異的（T^2-錐）となる。
• a = 0 を超える際に、S^1 要素における位相的遷移（デーンねじり）が発生し、これはcodimension-one特異点を示唆する。
• 著者は、このファイブレーションモデルが、一般のほぼカラビ–ヤウ 3-多様体のSLファイブレーションにおけるcodimension-one特異点の一般的な局所的挙動を捉えていると予想する。
• 別個のU(1)-不変モデルがcodimension-two特異点のために提案され、2つのT^2-錐特異点が相殺されることで摂動安定性が示唆される。
• 本稿では、codimension-three特異点はU(1)-不変でない可能性が高く、このような場合に異なる局所モデルが必要であると示唆する。