[論文レビュー] SU(3)-structures on submanifolds of a Spin(7)-manifold

Stefan Ivanov, Francisco Martı́n Cabrera|ArXiv.org|Oct 19, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 43被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Spin(7)-多様体の6次元部分多様体における局所的SU(3)-構造を調べ、周囲のSpin(7)-構造の内在的ねじれと部分多様体の形状作用素を用いてその型を導出する。ホロモーフィックな局所的(3,0)-形式が存在するのは、部分多様体が3次元平面に含まれる場合に限り、このときCalabiの例が回復され、形式が唯一の完全歪対称ねじれを持つヒルベルト接続に関して平行であることが確認される。

ABSTRACT

Local SU(3)-structures on an oriented submanifold of Spin(7)-manifold are determined and their types are characterized in terms of the shape operator and the type of the Spin(7)-structure. An application to Bryant \cite{MR89b:53084} and Calabi \cite{MR24 #A558} examples is given. It is shown that the product of a Cayley plane and a minimal surface lying in a four-dimensional orthogonal Cayley plane with the induced complex structure from the octonions described by Bryant in \cite{MR89b:53084} admits a holomorphic local complex volume form exactly when it lies in a three-plane, i.e. it coincides with the example constructed by Calabi in \cite{MR24 #A558}. In this case the holomorphic (3,0)-form is parallel with respect to the unique Hermitian connection with totally skew-symmetric torsion.

研究の動機と目的

• Spin(7)-多様体の6次元部分多様体に誘導される局所的SU(3)-構造を特定すること。
• 周囲のSpin(7)-構造の内在的ねじれと部分多様体の形状作用素を用いて、これらのSU(3)-構造の型を特徴づけること。
• このような部分多様体にホロモーフィックな局所的(3,0)-形式が存在するかを調査すること。
• 得られた結果をBryantおよびCalabiの例に適用し、特に誘導された(3,0)-形式が閉形式であり、平行である場合を特定すること。

提案手法

• 本稿は、周囲のSpin(7)-構造の基本的4形式Φを用い、局所的正規直交法線ベクトル場の選択により6次元部分多様体に局所的SU(3)-構造を誘導する。
• 内在的ねじれをdΦの形で表現し、外微分を用いて∇Φの明示的公式を導出する。
• 法接続と形状作用素の成分の分解を分析することで、誘導されたSU(3)-構造の型を分類する。
• リーマン接続と法接続を用い、周囲の幾何学と部分多様体の内面的幾何学との関係を関係づける。
• G-構造と内在的ねじれの理論を応用し、さまざまなクラスのSpin(7)-多様体におけるSU(3)-構造の型を分類する。
• 特にM⁸ = O（オクタニオン）の場合を明示的に計算し、Bryantの構成を詳細に分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Spin(7)-多様体の6次元部分多様体が周囲の幾何から局所的SU(3)-構造を誘導するのはどのような条件下か？
• RQ2 部分多様体の形状作用素は、誘導されたSU(3)-構造の型をどのように決定するか？
• RQ3 誘導されたSU(3)-構造がホロモーフィックな局所的(3,0)-形式をもつのはいつか？ その幾何的意味は何か？
• RQ4 周囲のSpin(7)-構造の内在的ねじれと、誘導されたSU(3)-構造の型との正確な関係は何か？
• RQ5 BryantおよびCalabiの例において、Cayley平面と最小曲面の積がホロモーフィック体積形式をもつのはいつか？

主な発見

• 6次元部分多様体に誘導されたSU(3)-構造が型W₃（バランス型）であるための必要十分条件は、部分多様体が最小でかつほぼ複素構造が積分可能であることである。
• ホロモーフィックな局所的(3,0)-形式が部分多様体に存在するのは、部分多様体が3次元平面に含まれる場合に限る。これはまさにCalabiの例に一致する。
• この場合、ホロモーフィックな(3,0)-形式は、完全歪対称ねじれを持つ唯一のヘルミート接続に関して平行である。
• 周囲のSpin(7)-構造が平行である場合、部分多様体のLee形式は消え、かつほぼ複素構造が積分可能であれば誘導されたSU(3)-構造はバランス型である。
• 局所的に共形平行なSpin(7)-構造に対しては、誘導されたSU(3)-構造が完全測地的であるための必要十分条件はf*θ⁸ = 0かつ部分多様体がW₅類に属することである。
• 本稿は、形状作用素と内在的ねじれに基づく新しい手法により、GrayのSU(3)-構造に関する結果を再発見し、すべてのSpin(7)-クラスにわたる統一的な分類を提供する。