[論文レビュー] Sub-critical and Super-critical Regimes in Epidemic Models of Earthquake Aftershocks

Agnès Helmstetter, Didier Sornette|Sep 18, 2001

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、疫学的型後震動系列（ETAS）モデルを分析し、分岐パラメータ $ n $ が $ n<1 $ の準拠的（sub-critical）状態と $ n>1 $ の超拠的（super-critical）状態の間の遷移を制御することを示している。特徴的な時刻 $ t^* $ が、初期時間におけるオモリ減衰（指数 $ 1-\theta $）から、大時刻における挙動への遷移を示しており、$ n<1 $ の場合はべき則減衰、$ n>1 $ の場合は爆発的指数的増加となる。この結果、実際の後震動系列における地震活動の沈静と加速のパターンを説明できる。

ABSTRACT

We present an analytical solution and numerical tests of the epidemic-type aftershock (ETAS) model for aftershocks, which describes foreshocks, aftershocks and mainshocks on the same footing. The occurrence rate of aftershocks triggered by a single mainshock decreases with the time from the mainshock according to the modified Omori law K/(t+c)^p with p=1+theta. A mainshock at time t=0 triggers aftershocks according to the local Omori law, that in turn trigger their own aftershocks and so on. The effective branching parameter n, defined as the mean aftershock number triggered per event, controls the transition between a sub-critical regime n&lt;1 to a super-critical regime n&gt;1. In the sub-critical regime, we recover and document the crossover from an Omori exponent 1-theta for t1 and theta&gt;0, we find a novel transition from an Omori decay law with exponent 1-theta fot tt*. The case theta&lt;0 yields an infinite n-value. In this case, we find another characteristic time tau controlling the crossover from an Omori law with exponent 1-theta for t

研究の動機と目的

• 解析的および数値的手法を用いて、疫学的型後震動系列（ETAS）における準拠的状態と超拠的状態の遷移を理解すること。
• 各イベントから誘発される後震動の平均数として定義される有効分岐パラメータ $ n $ が、状態遷移を制御する役割を特定すること。
• 初期時刻から大時刻における地震活動率ダイナミクスの遷移を示す特徴的な時刻 $ t^* $ を特定すること。
• 実際の地震活動パターン、例えばマグニチュードの大きな地震の前震の沈静とその後の地震活動の加速を、ETASモデルを用いて説明すること。
• 後震動系列における $ b $-値と $ p $-値の相関関係や、大規模地震の前における $ b $-値の低下といった経験的観察を説明すること。

提案手法

• 単一のマグニチュードの大きな地震が引き起こすグローバルな後震動系列における地震活動率の解析的解を導出する。
• 後震動誘発率を $ K/(t+c)^p $ でモデル化し、$ p = 1 + \theta $ を用いる。ここで $ p $-値は $ \theta $ から導出される。
• 有効分岐パラメータ $ n $ を、各イベントから誘発される後震動の平均数として定義し、$ \theta $、$ \theta = p - 1 $、およびマグニチュードスケーリング $ 10^{\theta m} $ に依存する。
• 分岐過程の形式的枠組みを用いて、すべての世代にわたる誘発イベントの合計地震活動率を計算する。
• ETASパラメータの関数として特徴的な時刻 $ t^* $ を導出し、初期時刻と大時刻のダイナミクスの遷移を示す。
• 合成カタログの数値シミュレーションを実施し、特に超拠的状態において解析的予測を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ETASモデルにおいて、地震活動率は時間とともにどのように変化するか。特に分岐パラメータ $ n $ とどのように関係するか。
• RQ2 特徴的な時刻 $ t^* $ は、後震動系列における初期時刻から大時刻への挙動の遷移をどのように支配するか。
• RQ3 モデルは、大規模地震の前における地震活動の加速をどのように説明するか。
• RQ4 一部の後震動系列では大規模な後震動の前後に相対的地震活動の沈静が観察されるが、その理由は何か。ETASモデルはこれをどのように説明するか。
• RQ5 後震動系列における $ b $-値と $ p $-値の経験的相関関係はどのように説明できるか。ETASモデルはこれを再現できるか。

主な発見

• 準拠的状態（$ n < 1 $）では、$ t < t^* $ において有効オモリ指数 $ 1 - \theta $ の下で地震活動率が減少し、$ t > t^* $ では $ 1 + \theta $ に遷移する。これは以前の研究結果と整合的である。
• 超拠的状態（$ n > 1 $、$ \theta > 0 $）では、初期にオモリ減衰（指数 $ 1 - \theta $）を示し、$ t > t^* $ では爆発的指数的増加を示す。これは、大規模な出来事の前における地震活動の加速を説明できる。
• $ \theta < 0 $ の場合、分岐パラメータ $ n $ は発散し、新たな特徴的な時刻 $ \tau $ が、指数 $ 1 - |\theta| $ のオモリ則から大時刻における指数的増加への遷移を支配する。
• モデルは、$ p $-値が小さい（$ p \to 1 $）場合、すなわち $ \theta \to 0 $ の場合、超拠的状態の可能性が高くなることから、大規模地震の前触れとして $ p \to 1 $ が観察される理由を説明できる。
• モデルは、超拠的状態において初期オモリ減衰から大時刻における指数的増加への遷移が、大規模な後震動の前における相対的地震活動の沈静の原因であると説明できる。
• Ogata（1989, 1992）の実データ解析から、$ t^* $ はETASパラメータから計算可能であり、$ p \to 1 $ または $ \theta \to 0 $ の系列では $ n $ が高くなることが判明。これは爆発的増加の可能性を示唆する。