[論文レビュー] Sub-diffusion processes in Hilbert space and their associated stochastic differential equations and Fokker-Planck-Kolmogorov equations

Lise Chlebak, Patricia Garmirian+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2016

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ひとこと要約

本稿では、時刻変更 Q ベンチャー過程をヒルバート空間値の部分拡散過程として導入し、そのマルティンゲール性を確立し、時間変更イトの微積分と双対性を用いて確率的微分方程式（SDE）および分数階 Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程式を導出する。主な貢献は、時間変更 SDE の解に対して時間分数階 FPK 方程式を導出したことであり、時間変更過程が $ D_t^\beta \rho_t = L_0^* \rho_t $ を満たすことを示している。ここで $ D_t^\beta $ はキャプートーの分数階微分、$ L_0^* $ は元の SDE の生成作用素の随伴作用素である。

ABSTRACT

This paper focuses on the time-changed Q-Wiener process, a Hilbert space-valued sub-diffusion. It is a martingale with respect to an appropriate filtration, hence a stochastic integral with respect to it is definable. For the resulting integral, two change of variables formulas are derived. Via a duality theorem for integrals, existence and uniqueness theorems for stochastic differential equations (SDEs) driven by the time-changed Q-Wiener process are discussed. Associated fractional Fokker-Planck-Kolmogorov equations are derived using either a time-changed Itô formula or duality. Connections are established between three integrals driven by time-changed versions of the Q-Wiener process, cylindrical Wiener process, and martingale measure.

研究の動機と目的

• 時刻変更 Q ベンチャー過程を用いて部分拡散過程を無限次元ヒルバート空間へ拡張すること。
• ヒルバート空間における時間変更 Q ベンチャー過程によって駆動される確率的微分方程式（SDE）の解の存在および一意性を確立すること。
• 時間変更イントの公式と双対性を用いて、時間変更 SDE に対して分数階 Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程式を二通りの方法で導出すること。
• 時間変更 Q ベンチャー過程によって駆動される確率積分、時間変更円筒型ベンチャー過程、およびマルティンゲール測度の間の関係を特定すること。

提案手法

• 時間変更 Q ベンチャー過程は、逆安定サブディリベーターによって時間変更された Q ベンチャー過程として定義され、ヒルバート空間内での二乗可積分マルティンゲールであることが保証される。
• 時間変更 Q ベンチャー過程に関する確率積分に対して、二つの変数変換の公式が導出され、特にイト過程に対する時間変更イントの公式が含まれる。
• 双対性を用いて、時間変更 SDE の弱解および強解の存在と一意性が確立される。
• 双対性およびフィビニの定理を用いて、時間変更 Q ベンチャー過程、円筒型ベンチャー過程、およびマルティンゲール測度によって駆動される積分の関係が確立される。
• ラプラス変換と双対性を用いて分数階 FPK 方程式が導出され、解の法則の時間分数階微分が生成作用素の随伴作用素を法則に作用させたものに等しいことが示される。
• 時間変更 SDE の解は $ X(t) = Y(E_t) $ と表現され、ここで $ Y $ は古典的 SDE を満たし、$ E_t $ は逆サブディリベーターである。この表現により、ラプラス変換の技法を用いて FPK 方程式が導出可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時刻変更 Q ベンチャー過程を用いて、部分拡散過程を無限次元ヒルバート空間へ一般化する方法は何か？
• RQ2 時刻変更 Q ベンチャー過程の確率的微積分的性質（変数変換、イントの公式など）は何か？
• RQ3 ヒルバート空間における時刻変更 Q ベンチャー過程によって駆動される SDE の解の存在および一意性の条件は何か？
• RQ4 時刻変更 SDE の確率測度はどのように分数階 Fokker-Planck-Kolmogorov 方程式を満たすか？
• RQ5 時刻変更 Q ベンチャー過程、円筒型ベンチャー過程、およびマルティンゲール測度によって駆動される確率積分の間の関係は何か？

主な発見

• 時間変更 Q ベンチャー過程はヒルバート空間内での二乗可積分マルティンゲールであり、増加過程および二次変動過程が明示的に計算可能である。
• 時間変更 Q ベンチャー過程に関する確率積分に対して、二つの変数変換の公式が導出され、時間変更イントの微積分の構築が可能になる。
• グレクシュおよびトゥドルのヒルバート空間内マルティンゲールに関する結果を用いて、時間変更 SDE の弱解の存在と一意性が確立される。
• 時間変更 SDE の強解の存在と一意性は、対応する非時間変更 SDE との双対性を用いて証明される。
• 時間変更 SDE の解は $ X(t) = Y(E_t) $ を満たす。ここで $ Y $ は古典的 SDE を満たし、$ E_t $ は逆サブディリベーターである。この関係により、時間分数階 FPK 方程式の導出が可能になる。
• 解の法則は時間分数階 Fokker-Planck-Kolmogorov 方程式 $ D_t^\beta \rho_t = L_0^* \rho_t $ を満たす。ここで $ D_t^\beta $ はキャプートーの分数階微分、$ L_0^* $ は元の SDE の生成作用素の随伴作用素である。