[論文レビュー] Subcritical branching processes in random environment without Cramer condition

Vladimir Vatutin, Xinghua Zheng|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、関連するランダムウォークがCramér条件を満たさない場合の、確率的環境下での亜臨界的分岐過程を調査しており、尾指数β > 2の重い尾を持つ増分に注目している。長期生存は、ランダムウォークにおける単一の大規模な負のジャンプに起因し、これが初期の集団爆発を引き起こす。生存を条件とした粒子数の極限定理は離散的ではなく連続的であることが示され、古典的な亜臨界的ケースとは異なる。

ABSTRACT

A subcritical branching process in random environment (BPRE) is considered whose associated random walk does not satisfy the Cramer condition. The asymptotics for the survival probability of the process is investigated, and a Yaglom type conditional limit theorem is proved for the number of particles up to moment $n$ given survival to this moment. Contrary to other types of subcritical BPRE, the limiting distribution is not discrete. We also show that the process survives for a long time owing to a single big jump of the associate random walk accompanied by a population explosion at the beginning of the process.

研究の動機と目的

• 関連するランダムウォークがCramér条件を満たさない場合の、確率的環境下における亜臨界的分岐過程の漸近的挙動を分析すること。
• 対数的平均子孫数の尾指数β > 2である重い尾のケースにおける生存確率を特徴づけること。
• 生存時刻nまでに生存しているという条件のもとでの、時刻nまでの粒子数に対するヤグロフ型の条件付き極限定理を確立すること。
• 長期生存を可能にするメカニズムを特定し、それが関連するランダムウォークにおける単一の大規模な負のジャンプに起因することを示すこと。
• 生存を条件とした粒子数の極限定理が、古典的な亜臨界的ケースにおける離散的極限とは対照的であることを示すこと。

提案手法

• 独立同一分布の子孫分布を用いて確率的環境下の分岐過程をモデル化し、母関数f_n(s)を用いる。ここで、対数的平均子孫数X_n = log f_{n-1}'(1)は、P(X > x) ~ l(x)/x^β（β > 2）を満たす重い尾分布を有する。
• 関連するランダムウォークS_n = X_1 + ... + X_nを定義し、E[X] = -a < 0であるため、ほとんど確実に-∞に発散する。
• U_nを最後の大規模な負のジャンプの時刻とする。U_n以降のランダムウォークの関数的極限定理を用いて、このジャンプ後のパス挙動を分析する。
• 大偏差理論と正則変動理論を用いて、Xおよび生存確率の尾挙動を分析する。
• 生存を条件としたスケーリング粒子数過程の分布収束を示し、ジャンプ後のランダムウォークがブラウン運動に収束することを応用する。
• ジャンプ後のランダムウォークがブラウン運動に収束することを応用し、生存を条件とした集団サイズの極限定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関連するランダムウォークがCramér条件を満たさない場合、生存確率の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ2 Cramér条件を満たさない場合に、遠く離れた時刻nまで生存しているという条件下で、集団サイズは時間とともにどのように変化するか？
• RQ3 生存を条件とした粒子数の極限定理の性質は何か？また、古典的な亜臨界的過程における離散的極限とはどのように異なるか？
• RQ4 Cramér条件が成立しない状況で、長期生存がどのように可能になるのか？
• RQ5 特に単一の大規模な負のジャンプに起因する関連するランダムウォークの挙動は、集団動態にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 生存確率は多項式的に減少し、その減少率は対数的平均子孫数の尾指数β > 2によって決定される。
• 長期生存は、関連するランダムウォークにおける単一の大規模な負のジャンプに起因し、これが初期の集団爆発を引き起こす。
• 時刻nまで生存しているという条件下では、n → ∞のとき粒子数が無限大に発散する。これは、古典的な亜臨界的ケースにおける緊密な極限とは対照的である。
• 生存を条件とした粒子数の条件付き極限定理は、離散的ではなく連続的であり、ジャンプ後のランダムウォークがブラウン運動に収束することに起因する。
• 極限定理は非退化的であり、Lebesgue測度に関して絶対連続的であり、根本的に異なるスケーリング挙動を示している。
• 生存を条件としたスケーリング粒子数過程の関数的極限定理は弱収束し、ブラウン運動を含む非退化的極限に収束する。これにより、極限の連続性が確認される。