[論文レビュー] Subharmonicity of direct images and applications

Frédéric Campana, Junyan Cao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2019

Digital Image Processing Techniques参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、複素幾何における特異的メトリクスと正曲率を用いて、安定性および第一チャーン類の消滅条件の下で、コンpakトなカーラー多様体上の正則的foliationの代数的葉を持つことを示す、直接像層の新しい下有界性性質を確立する。主な貢献は、ペレーラ＝トゥーツェの予想に対する部分的証明であり、曲率および安定性の仮定の下で葉の代数的性を示すものである。

ABSTRACT

In this article we establish new positivity properties for direct images of twisted pluricanonical bundle of an algebraic fiber space. As a corollary we obtain an algebraicity criteria for holomorphic foliations which partly confirms a conjecture of Pereira-Touzet.

研究の動機と目的

• カーラーファイブレーション上の正則線束に作用する特異ヘルミートメトリクスに関連する直接像層の下有界性を調査すること。
• ペレーラ＝トゥーツェによる、第一チャーン類が自明で第二チャーン類が消えない正則的foliationの葉の代数的性に関する予想に取り組むこと。
• 強い曲率および安定性の仮定の下で、直接像の行列式バンドルの正曲率結果を確立すること。
• カーラーファイブレーションに特異点が正則交差を持つ場合に、特異的メトリクスから直接像への正性技術を拡張すること。
• 相対ベルグマンカーネルメトリクスと曲率推定を用いた、ヴィエフェグ＝ツジ型定理への新たな手法の提供。

提案手法

• 特異的ヘルミートメトリクス $h_L$ が非負の曲率電流を持つ場合に、$L^2$ メトリクスが直接像 $\mathcal{E} = p_*((K_{Y/X}+L) \otimes \mathcal{I}(h_L))$ に誘導されることを用いる。
• ベルンダッセンおよびバーマン＝ベルンダッセンの技術を適用し、局所的積モデル $U \times V \to U$（$U$ は球体、$V$ はシュタイン）に曲率推定を還元する。
• 条件 $\Theta_{h_L}(L) \wedge p^*\omega_X^{n-1} \geqslant \varepsilon_0 p^*\omega_X^n$ の下で、$\Theta_{\det h_{Y/X}}(\det \mathcal{E}) \wedge \omega_X^{n-1} \geqslant r\varepsilon_0 \omega_X^n$ の形の曲率不等式を確立する。
• 相対ベルグマンカーネルメトリクス $h_k$ を $mK_{Y/X} + L$ に用い、$\Theta_{h_k}(mK_{Y/X}+L) \wedge p^*\omega_X^{n-1} \geqslant -\delta_k p^*\omega_X^n$ かつ $\delta_k \to 0$（$k \to \infty$）を満たすようにする。
• 行列式写像 $\det \mathcal{E} \to \otimes^r \mathcal{E}$ から得られる切断 $s$ を用いて、ファイバー積 $Y^{(r)}$ 上に特異的メトリクス $h_F$ を構成し、曲率比較を可能にする。
• 特異点と余次元条件を処理するため、$\varphi: Y^{(r)} \to Y^r$ の正則化と、除法的補正 $E_1, E_2$ を用い、曲率電流の整数性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接像層 $\mathcal{E} = p_*(K_{Y/X}+L) \otimes \mathcal{I}(h_L)$ がグリフィスの意味で半正曲率を持つのはどのような条件下か？
• RQ2 行列式バンドル $\det \mathcal{E}$ が $\Theta_{\det h_{Y/X}}(\det \mathcal{E}) \wedge \omega_X^{n-1} \geqslant r\varepsilon_0 \omega_X^n$ を満たす曲率電流を持つのはいつか？
• RQ3 安定性および $c_1(\mathcal{F}) = 0$ の仮定の下で、正則的foliation $\mathcal{F} \subset T_X$ の葉の代数的性をどのように示せるか？
• RQ4 相対ベルグマンカーネルメトリクスは曲率制約下でどのように振る舞い、$k \to \infty$ の極限でどのような極限に達するか？
• RQ5 $\Theta_{h_L}(L) \geqslant -C p^*\omega_X$ および $\Theta_{h_L}(L) \wedge p^*\omega_X^{n-1} \geqslant 0$ の条件下で得られる曲率推定は何か？

主な発見

• 特異的ヘルミートメトリクス $h_L$ に対して $\Theta_{h_L}(L) \geqslant 0$ ならば、直接像層 $\mathcal{E} = p_*(K_{Y/X}+L) \otimes \mathcal{I}(h_L)$ はグリフィスの意味で半正曲率を持つ。
• より強い条件 $\Theta_{h_L}(L) \wedge p^*\omega_X^{n-1} \geqslant \varepsilon_0 p^*\omega_X^n$ の下で、$\mathcal{E}$ の行列式は $\Theta_{\det h_{Y/X}}(\det \mathcal{E}) \wedge \omega_X^{n-1} \geqslant r\varepsilon_0 \omega_X^n$ を満たす。
• 反射的層 $\mathcal{F}$ が $c_1(\mathcal{F}) = 0$ かつ $k \geq r+1$ に対して $\widehat{\mathrm{Sym}}^k \mathcal{F}^*$ が $\omega_X$-安定であるとき、$\mathbb{P}(E)$ 上の標準バンドル $\mathcal{O}(1)$ は擬効果的でない、または $\mathcal{F}$ はヘルミート平坦である。
• $X$ が射影的であり、$k \geq r$ に対して $\widehat{\mathrm{Sym}}^k \mathcal{F}^*$ が $\omega_X$-安定であるとき、同様の結論（$\mathcal{O}(1)$ の擬効果性なし、またはヘルミート平坦）が成り立つ。
• $m$-ベルグマンメトリクス $h_k$ の列が $mK_{Y/X}+L$ 上に存在し、$\Theta_{h_k}(mK_{Y/X}+L) \wedge p^*\omega_X^{n-1} \geqslant -\delta_k p^*\omega_X^n$ かつ $\delta_k \to 0$ を満たす。
• $p:Y \to X$ が局所的に射影的で、正則交差特異点を持つ場合、$\mathcal{I}(h_L|_{Y_x}) = \mathcal{O}_{Y_x}$ が一般に成り立つとき、$\mathrm{codim}_X p_*(F) \geq 2$ を満たす除法 $F$ が存在し、$k \to \infty$ のとき $\int_Y c_1((mr+r)(K_{Y/X}+L) - \pi^*\det\mathcal{E} + E_3 + F) \wedge p^*\omega_X^{n-1} \geqslant -\delta_k p^*\omega_X^n$ が成り立つ。