[論文レビュー] Submanifolds in metallic Riemannian manifolds

Cristina E. Hreţcanu, Adara M. Blaga|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、金属的リーマン多様体の部分多様体に誘導される$Σ$-金属的リーマン構造を導入し、解析する。これはゴールデン構造および金属的構造を一般化するものである。本稿は、正規性が、法接続が消え、部分多様体が非不変であるとき、接ベクトル場$(1,1)$-テンソル場$P$がすべてのウィンガルテン作用素と可換であるときにかつそのときに限り成立することを確立する。

ABSTRACT

The aim of our paper is to focus on some properties of submanifolds in Riemannian manifolds endowed with endomorphisms that generalize the Golden Riemannian structure, named metallic Riemannian structures. We focus on the properties of the structure induced on submanifolds, named by us $Σ$-metallic Riemannian structures, especialy regarding the normality of this types of structure. Examples of structures induced on a sphere of codimension 1 by some metallic Riemannian structures defined on an Euclidean space are given.

研究の動機と目的

• 金属的構造を備えたリーマン多様体における部分多様体の性質を調査し、ゴールデン構造を一般化する。
• 周囲の金属的リーマン多様体構造から生じる部分多様体上への誘導$Σ$-金属的リーマン構造を定義し、解析する。
• 誘導$Σ$-金属的構造が正規である条件を、ウィンガルテン作用素や法接続といった幾何的不変量と関連付けて特定する。
• ユークリッド空間への埋め込みによる球面上のこのような構造の明示的例を提供する。
• 非不変性条件下での法ベクトル場$ξ_\alpha$の線形独立性を確立し、構造の正則性に不可欠な要因を明らかにする。

提案手法

• 正の整数$p,q$を用いて$J^2 = pJ + qI$を満たす$(1,1)$-テンソル場$J$により、多様体$̅{M}$上に金属的リーマン構造を定義する。
• ベクトル場の接成分と法成分に分解することで、$J$の接ベクトルおよび法ベクトルへの作用を用いて、部分多様体$M$上に構造$\Sigma = (P, g, u_\alpha, \xi_\alpha, (a_{\alpha\beta}))$を誘導する。
• 主要な構造方程式を導出する：$P^2X = pPX + qX - \sum_\alpha u_\alpha(X)\xi_\alpha$、$g(PX,Y) = g(X,PY)$、および$u_\alpha(X) = g(X,\xi_\alpha)$。
• 法接続$\nabla^\bot$とウィンガルテン作用素$A\alpha$を用いて、幾何的整合性および正規性条件を分析する。
• 曲率および整合性関係を簡略化するために、$\nabla^\bot = 0$（法接続が消える）という条件を適用する。
• 非不変性および法接続が消える条件下で、誘導$Σ$-金属的構造の正規性が、すべての$\alpha$について$[P, A_\alpha] = 0$と同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分多様体に誘導された$Σ$-金属的リーマン構造が正規であるための条件は何か？
• RQ2 等長埋め込みによって金属的リーマン多様体に埋め込まれたとき、幾何的成分$P$、$\xi_\alpha$、$u_\alpha$、$a_{\alpha\beta}$はどのように変化するか？
• RQ3 法接続$\nabla^\bot$の消えることが、誘導構造の正規性に果たす役割は何か？
• RQ4 部分多様体が周囲の金属的構造に関して非不変である場合、法ベクトル場$\xi_\alpha$の線形独立性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 周囲の構造が正規でない場合でも、誘導$Σ$-金属的構造が正規であることは可能か？ どのような幾何的制約下で成立するか？

主な発見

• 部分多様体$M$に誘導された$Σ$-金属的リーマン構造は、すべての$X \in \mathcal{X}(M)$に対して$P^2X = pPX + qX - \sum_\alpha u_\alpha(X)\xi_\alpha$を満たし、周囲の金属的条件を一般化する。
• テンソル場$P$は$g$-対称的である：$g(PX,Y) = g(X,PY)$であり、これにより誘導計量と整合性が保証される。
• 1-形式$u_\alpha$は$u_\alpha(X) = g(X, \xi_\alpha)$を満たし、$M$の法幾何と直接的に関連づけられる。
• 部分多様体$M$が非不変であり、周囲の構造が局所的に金属的であるとき、法ベクトル場$\xi_1, \dots, \xi_r$は$M$上で線形独立である。
• 法接続$\nabla^\bot$が消え、$M$が非不変であるとき、誘導$Σ$-金属的構造が正規であるための必要十分条件は、$P$がすべてのウィンガルテン作用素$A_\alpha$と可換であること、すなわち$[P, A_\alpha] = 0$がすべての$\alpha$について成り立つことである。
• 法接続が消え、全 umbilical または全測地的である部分多様体に対しては、誘導$Σ$-金属的構造は正規である。これは補題7に従う。