[論文レビュー] Submodular and supermodular multi-labeling, and vertex happiness.

Yao Xu, Randy Goebel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Lovász拡張に基づく凸・凹緩和と確率的ラウンドリングを用いて、$2 - \frac{2}{k}$ の近似保証を達成するサブモジュラ多値割当（Sub-ML）と、$\frac{2}{k}$ の近似保証を達成するスーパーモジュラ多値割当（Sup-ML）を、カット問題の一般化フレームワークとして導入する。これらのフレームワークは、最大ハッピー頂点（MHV）問題と最小ハッピーでない頂点（MUHV）問題への応用を含み、標準的予想のもとでこれらの近似保証がタイトであることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the submodular multi-labeling (Sub-ML) problem, a more general version of the submodular multiway partition (Sub-MP), which captures many cut problems as special cases, including the edge-/node-weighted multiway cut and the hypergraph multiway cut. We also study the complement of Sub-ML, the supermodular multi-labeling (Sup-ML) problem. We propose a convex (concave, respectively) relaxation for the Sub-ML (Sup-ML, respectively) problem based on the Lov\'{a}sz extension, which can be solved in polynomial time. By applying a randomized rounding, we prove that Sub-ML can be approximated within a factor of $2 - \frac{2}{k}$ and Sup-ML can be approximated within a factor of $\frac{2}{k}$, where $k$ is the number of labels. In addition, we find that a recently studied vertex-coloring problem, the maximum happy vertices (MHV) problem, can be casted as a special case of Sup-ML. Hence, MHV can be approximated within $\frac{2}{k}$, which improves the previous best $\frac{1}{k}$-approximation. Based on the associated LP relaxation, we further prove that the $\frac{2}{k}$-approximation is the best possible for MHV. For the complementary minimum unhappy vertices (MUHV) problem, casted as a special case of Sub-ML, it can be approximated within $2 - \frac{2}{k}$ too; we prove that $2 - \frac{2}{k}$ is the best possible based on the associated LP relaxation; lastly, we show that a $(2 - \frac{2}{k} - \epsilon)$-approximation for MUHV is NP-hard under the Unique Games Conjecture, for any positive $\epsilon$.

研究の動機と目的

• サブモジュラ多路割当およびカット問題を統一的な Sub-ML フレームワークに一般化すること。
• Sub-ML の双対としての補完的 Sup-ML 問題を定義し、その性質を調査すること。
• サブモジュラ関数のLovász拡張を用いて、Sub-ML に対して凸緩和、Sup-ML に対して凹緩和を構築すること。
• 両者の Sub-ML および Sup-ML に対して、確率的ラウンドリングを適用して近似アルゴリズムを導出すること。
• MHV 問題が Sup-ML の特別な場合であり、MUHV 問題が Sub-ML の特別な場合であることを示し、導出された近似保証を直接適用可能にすること。

提案手法

• サブモジュラおよびスーパーモジュラな目的関数を持つラベル割当てに関する最適化問題として、Sub-ML および Sup-ML を定式化すること。
• サブモジュラ関数のLovász拡張を用いて、Sub-ML の凸緩和と Sup-ML の凹緩和を構築すること。
• 緩和された解に対して確率的ラウンドリングを適用し、有界な近似比を有する整数ラベル割当てを生成すること。
• Sub-ML の近似比が $2 - \frac{2}{k}$ であり、Sup-ML の近似比が $\frac{2}{k}$ であることを証明すること。ここで $k$ はラベルの数である。
• MHV が Sup-ML の特別な場合であり、MUHV が Sub-ML の特別な場合であることを実証し、導出された境界の直接適用を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブモジュラおよびスーパーモジュラな多値割当て問題は、既知のカット問題の一般化として定式化可能か？
• RQ2 凸および凹緩和を用いることで、Sub-ML および Sup-ML 問題に対してどの程度の近似保証が達成可能か？
• RQ3 Sup-ML フレームワークを用いることで、従来の $\frac{1}{k}$-近似を超えて最大ハッピー頂点（MHV）問題を改善可能か？
• RQ4 MHV 問題における $\frac{2}{k}$-近似は、標準的複雑性仮定のもとで最良のものか？
• RQ5 MUHV 問題における $2 - \frac{2}{k}$-近似はタイトであり、Unique Games 予想のもとで $\epsilon > 0$ に対して $(2 - \frac{2}{k} - \epsilon)$-近似は NP 困難であるか？

主な発見

• Sub-ML 問題は、凸緩和と確率的ラウンドリングを用いることで、$2 - \frac{2}{k}$ の近似因子内で近似可能である。
• Sup-ML 問題は、凹緩和と確率的ラウンドングを用いることで、$\frac{2}{k}$ の近似因子内で近似可能である。
• 最大ハッピー頂点（MHV）問題は $\frac{2}{k}$-近似を達成し、従来の $\frac{1}{k}$-近似を改善している。
• MHV 問題における $\frac{2}{k}$-近似は、関連する線形計画緩和を用いて最適であることが証明されている。
• 最小ハッピーでない頂点（MUHV）問題における $2 - \frac{2}{k}$-近似はタイトであり、任意の $\epsilon > 0$ に対して $(2 - \frac{2}{k} - \epsilon)$-近似は Unique Games 予想のもとで NP 困難である。