[論文レビュー] Submodular Function Maximization via the Multilinear Relaxation and Contention Resolution Schemes

Chandra Chekuri, Jan Vondrák+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用数 68

ひとこと要約

本稿では、多様な制約条件下で非負のサブモジュラ関数を最大化する一般化されたフレームワークを提示する。多項式的緩和と競合解決スキーム（CRS）を用い、分離オракルによって定義される下向き閉じたポリトープ上での非単調サブモジュラ最大化に対して定数乗数の近似保証を達成する。本手法は、新しいCRS構築法（相関ギャップ解析と分数解の再帰的分解に基づく）を導入することで、マトロイドとナップサック制約の交差や、単一のマトロイドやナップサック制約など、特定の制約タイプに限定されない、一般のパッキング制約に対して、定数乗数の近似保証を達成する。

ABSTRACT

We consider the problem of maximizing a non-negative submodular set function $f:2^N ightarrow \mathbb{R}_+$ over a ground set $N$ subject to a variety of packing type constraints including (multiple) matroid constraints, knapsack constraints, and their intersections. In this paper we develop a general framework that allows us to derive a number of new results, in particular when $f$ may be a non-monotone function. Our algorithms are based on (approximately) maximizing the multilinear extension $F$ of $f$ over a polytope $P$ that represents the constraints, and then effectively rounding the fractional solution. Although this approach has been used quite successfully, it has been limited in some important ways. We overcome these limitations as follows. First, we give constant factor approximation algorithms to maximize $F$ over a down-closed polytope $P$ described by an efficient separation oracle. Previously this was known only for monotone functions. For non-monotone functions, a constant factor was known only when the polytope was either the intersection of a fixed number of knapsack constraints or a matroid polytope. Second, we show that contention resolution schemes are an effective way to round a fractional solution, even when $f$ is non-monotone. In particular, contention resolution schemes for different polytopes can be combined to handle the intersection of different constraints. Via LP duality we show that a contention resolution scheme for a constraint is related to the correlation gap of weighted rank functions of the constraint. This leads to an optimal contention resolution scheme for the matroid polytope. Our results provide a broadly applicable framework for maximizing linear and submodular functions subject to independence constraints. We give several illustrative examples. Contention resolution schemes may find other applications.

研究の動機と目的

• 複雑なパッキング制約下での非負サブモジュラ関数の最大化のための一般的でスケーラブルなフレームワークの開発。
• 従来の手法が単調関数や特定の制約タイプ（例：単一のマトロイドやナップサック）に限定されていた制限を克服すること。
• マトロイドとナップサックの交差を含む、多様な制約族にわたるサブモジュラ最大化の近似アルゴリズムを統合的かつ拡張的に扱うこと。
• 競合解決スキームと重み付きランク関数の相関ギャップとの理論的関連を確立し、最適なCRS設計を可能にすること。
• 異なる制約タイプに柔軟かつモジュラーに適応可能なアプローチを提供し、多項式的緩和解の効率的なラウンディングを可能にすること。

提案手法

• サブモジュラ関数 f の多項式的拡張 F を用い、離散最適化問題をポリトープ P 上の連続最適化問題に緩和する。
• 分離オラクルによって定義される下向き閉じたポリトープ P 上で F(x) を最大化する問題を定式化し、効率的な分数最適化を可能にする。
• 分数解 z を需要サイズごとに要素をグループ化し、集合 Nh に分類し、それぞれを 3^h の係数でスケーリングする。
• 各グループ Nh に対して、(β, 1−β′)-バランスの取れた競合解決スキームをスケーリングされた解 z^h に適用し、整数解 y^h を得る。
• 確率的ラウンディングルールを用いる：確率 1/2 で y^0 を出力し、それ以外の場合は h≥1 の y^h の和集合を出力することで、実行可能性と期待性能を保証する。
• LP双対性を活用し、CRS を重み付きランク関数の相関ギャップに関連づけ、マトロイドポリトープに対する最適なCRS設計を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離オラクルによって定義される一般の下向き閉じたポリトープ上での非単調サブモジュラ最大化に対して、定数乗数の近似アルゴリズムを達成できるか？
• RQ2 マトロイドやナップサックなどの交差制約に対して、効果的な競合解決スキームを設計・合成する方法は何か？
• RQ3 競合解決スキームと重み付きランク関数の相関ギャップとの理論的関連は何か？
• RQ4 多項式的緩和アプローチを単調関数に限定されず、非単調ケースに対しても定数乗数の保証を達成できるように拡張できるか？
• RQ5 多様な制約タイプにわたるサブモジュラ最適化におけるラウンディング技法を統合する一般的かつモジュラーなフレームワークは存在するか？

主な発見

• 本稿では、分離オラクルによって定義される任意の下向き閉じたポリトープ上での非単調サブモジュラ最大化に対して、定数乗数の近似保証を達成する。これは、従来の結果が単調関数や特定の制約タイプに限定されていたのを拡張する。
• 本手法は、一般のパッキング制約に対して (β/6, (1−β′)/2)-バランスの取れたCRSを達成する、新しい競合解決スキームの構築法を導入し、従来のスキームを改善する。
• マトロイドポリトープに対しては、重み付きランク関数の相関ギャップを活用することで、最適な競合解決スキームを実現する。
• 再帰的分解と確率的ラウンディング戦略により、最終的な整数解の実行可能性が保証され、すべての制約タイプにおいて制約の満たし方を維持する。
• 本手法は、マトロイドとナップサック制約の交差を含む、従来の結果を一般化・統合し、定数乗数の近似保証を有する単一のフレームワークを提供する。
• 非単調サブモジュラ関数に対しても、本フレームワークは有効であることが示され、従来の手法が限界に達していた分野においても成功を収める。