[論文レビュー] Subvarieties of moduli spaces of sheaves via finite coverings

Markus Zowislok|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異的でない正標数の代数的多様体の有限分岐なし被覆、特に表面の巡回的および標準的被覆の下で、層の安定性およびモジュライ空間の挙動を研究する。このような被覆による引き戻しは、半安定層のモジュライ空間の間の準同型を誘導し、その像がK3面やアーベル面から得られる正則的シンプレクティック多様体におけるラグランジュ部分多様体をなす条件を同定する。これは、有限被覆を用いたラグランジュ部分多様体の構成法を提供する。

ABSTRACT

Given a finite unbranched covering of a nonsingular projective scheme we analyse the morphism between moduli spaces of sheaves induced by pullback. We have a closer look at cyclic coverings and, in particular, at canonical coverings of surfaces. Our main application is the construction of Lagrangian subvarieties of certain irreducible holomorphically symplectic manifolds that arise from moduli spaces of sheaves on K3 or abelian surfaces.

研究の動機と目的

• 非特異的射影的スキームの有限分岐なし被覆によるGieseker安定性、ねじれ安定性、(H,A)-安定性の挙動を分析すること。
• このような引き戻しによる半安定層のモジュライ空間の間の誘導写像を理解すること。
• 引き戻し写像の像の構造、特にポリ安定性および安定性の保存性の観点から調査すること。
• エンリケス面や双楕円面のモジュライ空間から引き戻すことにより、K3面またはアーベル面上の層のモジュライ空間におけるラグランジュ部分多様体を構成すること。
• 特にK3面およびアーベル面の標準的被覆の場合に、引き戻しの像がラグランジュ部分多様体をなす条件を特定すること。

提案手法

• 有限分岐なし被覆 $ f: X \to Y $ 沿いの引き戻しファンクターを用い、半安定層のモジュライ空間の間の準同型 $ f^*: M_Y \to M_X $ を誘導する。
• 有限位数の線束によるテンソル積による群作用を用いて、引き戻しにおける安定性の挙動を分析する。
• 一般なアーメーブ除数およびアーメーブコーン内のチャンバ構造の概念を用い、引き戻しにおける安定性の保存を保証する。
• 結果を標準的被覆に適用：K3面によるエンリケス面の2重被覆、アーベル面による双楕円面の2重被覆。
• アーベル面上の状況では、アロバーネーズ写像を用いて高次元シンプレクティック多様体を簡約し、ラグランジュ部分多様体を特定する。
• ボゴモロフ分解およびファイバー簡約技術を用いて、得られるシンプレクティック多様体内のラグランジュ部分多様体を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gieseker安定性（および関連概念）は、有限分岐なし被覆による引き戻しにおいても保持されるか？
• RQ2 引き戻し準同型 $ f^*: M_Y \to M_X $ の像の構造は何か？ その像に属する層はどのようなものか？
• RQ3 $ Y $ 上の安定層の引き戻しが、$ X $ 上で安定のまま保たれるか、あるいは厳密に半安定化する条件は何か？
• RQ4 エンリケス面や双楕円面から引き戻すことにより、K3面またはアーベル面上の層のモジュライ空間にラグランジュ部分多様体を構成できるか？
• RQ5 引き戻し像がラグランジュ的であることを保証するためのチャーン類の原始的性および一般アーメーブ除数の役割は何か？

主な発見

• 引き戻し $ f^* $ は、閉点 $[E]$ を $[f^*E]$ に写す準同型 $ f^*: M_Y \to M_X $ を誘導し、その像はポリ安定的 $ G $-層からなる。
• 引き戻しは半安定性を保存する：$ E $ が $ Y $ 上で半安定ならば、$ f^*E $ は $ X $ 上で半安定であり、$ (f^*)^{-1}(M_X^s) \subseteq M_Y^s $ が成り立つ。
• 有限位数の線束 $ L $ によって定義される巡回被覆の場合、引き戻しで厳密に半安定化する層の集合は、定理3.14で正確に記述される。
• もし $ X $ がK3面であり、$ f^*u $ が原始的ならば、モジュライ空間 $ M_X(f^*u) $ は非特異的正則的シンプレクティック多様体であり、引き戻し像はラグランジュ部分多様体をなす。
• アーベル面上の状況では、アロバーネーズ写像による簡約がラグランジュ部分多様体を保存し、それらをより小さなシンプレクティック多様体内のラグランジュ部分多様体に還元する。
• 本稿では、奇数ランクの場合に複素トーラスがラグランジュ部分多様体として現れないことを示し、偶数ランクの場合には楕円曲線が現れ得ることを示唆しており、より高次元のラグランジュトーラスの可能性を示唆する。