[論文レビュー] Subvarieties of the hyperelliptic moduli determined by group actions

Tony Shaska|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有限部分群の表現とリーマン・フルヴィッツの公式を用いて、$g \geq 2$ のハイパーオービック曲線のすべての可能な自己同型群 $G$ 及びそれに対応する分岐型 $\sigma$ を特定することにより、$g \geq 2$ のハイパーオービック曲線の統一的な代数的分類を提供する。各局所有の一般曲線 $\mathcal{H}_g(G,\sigma)$ に対する明示的方程式を導出し、各局所の次元を計算し、固定された genus に対してこれらの局所間の包含関係の完全なラティスを構成する。GAP を用いた計算実装が行われている。

ABSTRACT

Let $\mathcal H_g$ be the moduli space of genus $g$ hyperelliptic curves. In this note, we study the locus $\mathcal L$ in $\mathcal H_g$ of curves admitting a $G$-action of given ramification type $σ$ and inclusions between such loci. For each genus we determine the list of all possible groups, the inclusions among the loci, and the corresponding equations of the generic curve in $\mathcal L$. The proof of the results is based solely on representations of finite subgroups of $PGL_2 (\mathbb C)$ and the Riemann-Hurwitz formula.

研究の動機と目的

• 代数閉体の標数 0 の上でのハイパーオービック曲線の自己同型群を統一的な代数的枠組みで分類すること。
• 与えられた genus $g \geq 2$ のハイパーオービック曲線に作用できるすべての有限群 $G$ を特定すること。
• 群作用の符号号に基づいて、ハイパーオービックモジュライ空間内での各局所 $\mathcal{H}_g(G,\sigma)$ の次元を計算すること。
• 有理関数の分解を用いて、各 $\mathcal{H}_g(G,\sigma)$ 局所における一般曲線のパラメトリック方程式を導出すること。
• 固定された genus $g$ に対して、すべての such 局所 $\mathcal{H}_g(G,\sigma)$ の完全な包含ラティスを、計算群論を用いて構成すること。

提案手法

• PGL_2(\mathbb{C}) の有限部分群の表現を用いて、$\overline{G}$ と同型な「縮約された」自己同型群 $\overline{G}$ の可能性を分類し、$\mathbb{Z}_n$, $D_n$, $A_4$, $S_4$, $A_5$ に同型であることを特定する。
• リーマン・フルヴィッツの公式を応用し、群作用の符号号から各局所 $\mathcal{H}_g(G,\sigma)$ の次元を計算する。
• 固定体 $k(x)^{\overline{G}}$ を生成する有理関数 $\phi(x)$ を構成し、$y^2 = f(x)$ の多項式 $f(x)$ の分解型を特定する。
• $\phi(x)$ を $x^n$ や $x^{n}+c$ のような形に分解することで、$\mathcal{H}_g(G,\sigma)$ 内の一般曲線のパラメトリック方程式を導出する。これにより、$y^2 = f(x^n)$ のような方程式が得られる。
• GAP を用いたアルゴリズムを実装し、各 genus $g$ の曲線のすべての自己同型群 $G$ を群の位数およびライブラリインデックスの順に列挙し、部分群包含関係のインシデント行列を計算する。
• Weierstrass点を $\phi(x)$ の分岐点上のファイバー $\phi^{-1}(\lambda)$ として用い、分岐性および曲線の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限群 $G$ が genus $g$ のハイパーオービック曲線の完全自己同型群として現れるか？
• RQ2 各 such 群 $G$ に対して、曲線上の $G$-作用の可能な分岐型 $\sigma$ は何か？
• RQ3 ハイパーオービックモジュライ空間 $\mathcal{H}_g$ 内の部分多様体 $\mathcal{H}_g(G,\sigma)$ の次元は何か？
• RQ4 有理関数の分解を用いて、$\mathcal{H}_g(G,\sigma)$ 内の一般曲線の方程式を明示的にどのように書けるか？
• RQ5 固定された genus $g$ に対して、すべての局所 $\mathcal{H}_g(G,\sigma)$ の完全な包含ラティスは何か？また、部分群包含関係はどのように局所包含関係に翻訳されるか？

主な発見

• 各 genus $g \geq 2$ に対して、現れる可能性のあるすべての自己同型群 $G$ を列挙しており、完全自己同型群 $G$ は $|G| \leq 8(g+1)$ を満たす。
• 局所 $\mathcal{H}_g(G,\sigma)$ の次元は、群作用の符号号 $\sigma$ のみに依存し、リーマン・フルヴィッツの公式により計算される。
• $\mathcal{H}_g(G,\sigma)$ 内の一般曲線は、$\overline{G}$ に関連する有理関数 $\phi(x)$ の分解から構成された $f(x)$ を用いた $y^2 = f(x)$ の形の方程式を持つ。
• genus 4 の場合、自己同型群のラティスには 11 個の異なる群が含まれており、$Z_2$, $V_4$, $Z_4$, $Z_6$, $D_8$, $G_2$, $D_{16}$, $Z_2 \times D_{10}$, $Z_{18}$, $SL_2(3)$, および $U_8$ が、次元および群の位数の順に並べられている。
• 本稿では 32 個の曲線族の明示的方程式を提供しており、$y^2 = (x^8 + 14x^4 + 1) \cdot G(x)$ や $y^2 = (x^{20} - 228x^{15} + 494x^{10} + 228x^5 + 1) \cdot \Lambda(x)$ のような形のものも含まれる。ここで $\Lambda(x)$ および他の基本多項式は再帰的に定義されている。
• すべてのハイパーオービック曲線で $|\mathrm{Aut}(\mathcal{X}_g)| > 2$ ならば $I_4(f) = 0$ が成り立つ。これは余分な自己同型を有するための必要条件を提供する。