[論文レビュー] Sum-of-Squares Decomposition and Augmented Vandermonde Decomposition of Strong Hankel Tensors: Theory and Algorithms

Weiyang Ding, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 12被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、強いハンケルテンソルにおける継承性の性質を確立し、スケーリングを用いた低次のハンケルテンソルから高次のテンソルへの拡張において、正値半定性、定性、および和の平方（SOS）構造が保存されることを証明する。明示的なSOS分解と、関連するハンケル行列を用いた極値H固有値の境界を提供し、テンソルの正性分析のための理論的かつアルゴリズム的枠組みを提示する。

ABSTRACT

In this paper, we show that if a lower-order Hankel tensor is positive semi-definite (or positive definite, or negative semi-definite, or negative definite, or SOS), then its associated higher-order Hankel tensor with the same generating vector, where the higher order is a multiple of the lower order, is also positive semi-definite (or positive definite, or negative semi-definite, or negative definite, or SOS, respectively). Furthermore, in this case, the extremal H-eigenvalues of the higher order tensor are bounded by the extremal H-eigenvalues of the lower order tensor, multiplied with some constants. Based on this inheritance property, we give a concrete sum-of-squares decomposition for each strong Hankel tensor. Then we prove the second inheritance property of Hankel tensors, i.e., a Hankel tensor has no negative (or non-positive, or positive, or nonnegative) H-eigenvalues if the associated Hankel matrix of that Hankel tensor has no negative (or non-positive, or positive, or nonnegative, respectively) eigenvalues. In this case, the extremal H-eigenvalues of the Hankel tensor are also bounded by the extremal eigenvalues of the associated Hankel matrix, multiplied with some constants. The third inheritance property of Hankel tensors is raised as a conjecture.

研究の動機と目的

• 異なる次数と定性タイプにおけるハンケルテンソルの理論的継承性を確立すること。
• 強いハンケルテンソルの明示的SOS分解法を開発すること。
• 関連するハンケル行列と低次の類似物の極値H固有値を用いて、高次ハンケルテンソルの極値H固有値を境界づけること。
• テンソルの定性とその関連ハンケル行列の定性との関係を調査すること。
• 今後の研究のためのハンケルテンソルの第3の継承性に関する予想を提示すること。

提案手法

• ハンケルテンソルの構造を活用し、生成ベクトルを元の次数の倍数で繰り返すことによって高次テンソルを構築する際、正値性とSOS性質が継承されることを証明する。
• 低次のテンソルからのSOS構造の継承を用いて、強いハンケルテンソルの明示的SOS分解を導出する。
• 高次テンソルの極値H固有値が、低次テンソルの極値H固有値のスカラー倍として境界づけられることを確立する。
• 関連するハンケル行列のスペクトル特性を分析し、対応するハンケルテンソルの定性と固有値の境界を推論する。
• テンソルのH固有値の符号とその関連ハンケル行列の固有値の符号との間の第二の継承性を導入する。
• 第三の継承性に関する予想を提示し、ハンケルテンソルにおけるより広範なスペクトル的対応関係を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低次のハンケルテンソルが正値半定性である場合、同じ生成ベクトルを用いた高次拡張も正値半定性であるか？
• RQ2 低次の性質を用いて、任意の強いハンケルテンソルに対して明示的なSOS分解を構築できるか？
• RQ3 高次ハンケルテンソルの極値H固有値は、その低次類似物のそれらとどのように関係しているか？
• RQ4 関連ハンケル行列の定性が、ハンケルテンソルの同じ定性を示すために必要な条件は何か？
• RQ5 ハンケルテンソルとその関連ハンケル行列との間のスペクトル的関係の性質は何か？そして、一般化可能か？

主な発見

• 低次の正値半定性ハンケルテンソルは、同じ生成ベクトルを用いた高次拡張に対しても正値半定性を保証する。
• 高次テンソルの極値H固有値は、低次テンソルのそれらを定数倍した値で境界づけられる。
• 低次の継承性に基づき、すべての強いハンケルテンソルに対して明示的なSOS分解が構築可能である。
• 関連ハンケル行列の固有値の符号が、ハンケルテンソルのH固有値の符号を決定し、第二の継承性が確立される。
• ハンケルテンソルの極値H固有値は、関連ハンケル行列のそれらを定数倍した値で境界づけられる。
• 第三の継承性が予想として提示され、ハンケルテンソルにおけるより深いスペクトル的関係が示唆される。