[論文レビュー] Sum-of-squares lower bounds for planted clique

Raghu Meka, Aaron Potechin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、プラント・クリーク問題を解くための和の平方（SOS）階層に対する、初めての平均ケース下界を確立している。rラウンドのSOSは、k ≥ (√n / log n)^{1/r} / C^r でない限り、サイズkのプラント・クリークを同定できない。この結果は、関連スキームと従属確率行列のスペクトルノルムの境界を用いた、高い確率でSOS制約を満たす疑似期待値作用素の構築に依拠している。

ABSTRACT

Finding cliques in random graphs and the closely related "planted" clique variant, where a clique of size k is planted in a random G(n, 1/2) graph, have been the focus of substantial study in algorithm design. Despite much effort, the best known polynomial-time algorithms only solve the problem for k ~ sqrt(n). In this paper we study the complexity of the planted clique problem under algorithms from the Sum-of-squares hierarchy. We prove the first average case lower bound for this model: for almost all graphs in G(n,1/2), r rounds of the SOS hierarchy cannot find a planted k-clique unless k > n^{1/2r} (up to logarithmic factors). Thus, for any constant number of rounds planted cliques of size n^{o(1)} cannot be found by this powerful class of algorithms. This is shown via an integrability gap for the natural formulation of maximum clique problem on random graphs for SOS and Lasserre hierarchies, which in turn follow from degree lower bounds for the Positivestellensatz proof system. We follow the usual recipe for such proofs. First, we introduce a natural "dual certificate" (also known as a "vector-solution" or "pseudo-expectation") for the given system of polynomial equations representing the problem for every fixed input graph. Then we show that the matrix associated with this dual certificate is PSD (positive semi-definite) with high probability over the choice of the input graph.This requires the use of certain tools. One is the theory of association schemes, and in particular the eigenspaces and eigenvalues of the Johnson scheme. Another is a combinatorial method we develop to compute (via traces) norm bounds for certain random matrices whose entries are highly dependent; we hope this method will be useful elsewhere.

研究の動機と目的

• プラント・クリーク問題を解くための和の平方（SOS）階層における平均ケース下界を確立すること。
• 定数ラウンドのSOSアルゴリズムが o(√n) サイズのプラント・クリークを同定できないことを示すこと。これにより、平方根の障壁を打ち破る。
• ランダムな G(n,1/2) グラフ上で、SOS制約を高い確率で満たす疑似期待値作用素（双対証明）を構築すること。
• ランダムグラフにおける最大クリーク問題の自然なSOS緩和に対する整数性ギャップを証明すること。
• 強い局所的依存性を示すエントリを持つ確率行列のスペクトルノルムをバウンドするための組合せ的ツールを開発すること。

提案手法

• G(n,1/2) グラフにおける最大クリーク問題の多項式系に対して、疑似期待値作用素（双対証明）を構築すること。
• 双対証明に関連する行列が、スペクトル解析を用いて高い確率で正定値（PSD）であることを証明すること。
• 関連スキーム理論におけるジョンソンスキームの固有空間と固有値を用いて、行列構造を分析すること。
• トレースに基づく新しい組合せ的技法を用いて、強い局所的依存性を持つ確率行列のスペクトルノルムをバウンドすること。
• 整数性ギャップ構築により、SOS下界をポジティブステルンザトシステムにおける次数下界に還元すること。
• 集中不等式（例：McDiarmidの不等式）を用いて、ランダム近傍内のクリーク数の変動を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数ラウンドの和の平方アルゴリズムは、ランダムグラフにおいて o(√n) サイズのプラント・クリークを同定できるか？
• RQ2 G(n,1/2,k) において、rラウンドのSOS階層がプラント・kクリークを検出できる最小のkは何か？
• RQ3 ランダムな G(n,1/2) グラフにおける最大クリーク問題の自然なSOS緩和に整数性ギャップは存在するか？
• RQ4 関連スキームからのスペクトル的および組合せ的ツールを用いて、平均ケース問題に対するSOS下界を証明できるか？
• RQ5 プラント・クリーク問題におけるSOS階層の、最もタイトな下界は何か？また、既知の上界 O(√n) にどれほど近いか？

主な発見

• 高い確率で、rラウンドのSOS階層は、k ≥ (√n / log n)^{1/r} / C^r でない限り、サイズkのプラント・クリークを同定できない。
• ランダムな G(n,1/2) グラフにおける最大クリーク問題の自然なrラウンドSOS緩和は、少なくとも n^{1/2r} / (C^r (log n)^2) の整数性ギャップを持つ。
• 証明で用いられた双対証明（疑似期待値）は、ランダムグラフモデル上で高い確率で正定値（PSD）である。
• 証明はジョンソンスキームのスペクトル解析と、局所的依存性を持つ確率行列のノルムをバウンドする新しい手法に依拠している。
• 整数性ギャップ構築により、O(log n) ラウンドのSOSですら、k = (log n)^{O(1)} に対してプラント・クリーク問題を解くことはできない。
• 下界は対数要因の範囲でタイトであり、SOSの最良既知の上界 O(√n / 2^r) と比較すると、r = o(log n) の場合にギャップが残っている。