[論文レビュー] Sums of equivalent sequences of positive operators in von Neumann factors

Catalin Dragan, Victor Kaftal|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無限大の $\sigma$-有限なフォン・ノイマン因子において、正規作用素 $A$ が、与えられた正規作用素 $B_j$ と Murray-von Neumann 同値であるような作用素 $C_j$ の無限和 $A = \sum_{j=1}^\infty C_j$ に分解可能であることを証明している。その条件はスペクトル射影とトレースの無限大に関する十分条件に基づく。本研究は、Bourin と Lee が $B(\mathcal{H})$ 内の同値な正規作用素の和に関する予想を確認し、一般のフォン・ノイマン因子へと拡張し、型 III 因子における必要十分条件を提供する。

ABSTRACT

Let A be a positive operator in an infinite sigma-finite von Neumann factor M and let B_j be a sequence of positive elements in M. We give sufficient conditions for decomposing A into a sum of elements C_j equivalent to B_j for all j ( C equivalent to B in M means that C=XX* and B=X*X for some X in M) and when C_j are unitarily equivalent to B_j for all j. This extends recent work of Bourin and Lee for the case of B_j= B for all j and M=B(H) and answers affirmatively their conjecture. For the case when B_j= B for all j we provide necessary conditions, which in the type III case are also sufficient.

研究の動機と目的

• Bourin と Lee が $B(\mathcal{H})$ 内の正規作用素の分解に関して行った研究を、一般の無限大の $\sigma$-有限なフォン・ノイマン因子へと拡張すること。
• フォン・ノイマン因子内の正規作用素 $A$ が、与えられた正規作用素列 $\{B_j\}$ に対して $A = \sum C_j$ と表記可能となる十分条件を確立すること。ここで $C_j \sim B_j$ である。
• 型 III 因子において、このような分解が成り立つための必要十分条件を提示すること。この条件が両方必要かつ十分であることが示される。
• $\sigma$-有限因子における射影の和に関する既存の結果を強化し、同値な正規作用素への分解の基礎とする。

提案手法

• Kaftal, Ng, Zhang の先行研究における射影への分解を、同値な正規作用素を構成する基礎的ツールとして用いる。
• 作用素 $A$ を $C_j \sim B_j$ となるように分解する問題を、スペクトル条件およびトレース条件を介して射影への和への分解に還元する。
• Murray-von Neumann 同値性（$C \sim B$ とは、ある $X \in \mathcal{M}$ が存在して $C = XX^*$、$B = X^*X$ となること）の概念を用い、因子内での $C_j$ と $B_j$ の関係を定式化する。
• Breuer 理想 $\mathcal{J}$ に関する本質的ノルム $\|A\|_e$ および本質的スペクトル $\sigma_e(A)$ を用いて、$A$ および $B_j$ の無限遠における挙動を特徴付ける。
• 無限大の $j$ に対して、$B_j$ のスペクトル射影 $\chi_{(\beta,\infty)}(B_j)$ に一様な下界 $\beta > 0$ が存在することを用い、必要な同値性の存在を保証する。
• 直和分解および射影比較（$P \prec Q$）を用いて、$B_j$ と補助射影から $C_j$ を構成し、必要な同値性および強作用素位相における収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大の $\sigma$-有限フォン・ノイマン因子内の正規作用素 $A$ が、与えられた正規作用素列 $\{B_j\}$ に対して $A = \sum C_j$ と表記可能となる条件は何か？ ここで $C_j \sim B_j$ である。
• RQ2 Bourin と Lee が提唱した予想（$B(\mathcal{H})$ 内でこのような分解が成り立つ）が、一般のフォン・ノイマン因子に対しても成り立つか？
• RQ3 $B_j = B$ がすべての $j$ に対して成り立つ場合、特に型 III 因子において、このような分解が成り立つための必要十分条件は何か？
• RQ4 $A$ および $B$ のスペクトル的性質、たとえば $\|A\|_e$、$\chi_{\{\|B\|\}}(B)$、および零射影 $N_A$、$N_B$ が、このような分解の可能性に与える影響は何か？
• RQ5 各 $C_j$ が無限次元の核を持つように分解を選べるか？ そのような選択が可能な条件は何か？

主な発見

• 本論文は、Bourin と Lee の予想を確認した： $A, B \in B(\mathcal{H})^+$、$\tau((A-I)_+) = \infty$、$B$ が非ゼロの収縮作用素であれば、$A = \sum_{j=1}^\infty C_j$ かつ $C_j \sim B$ となる。
• $B_j = B$ がすべての $j$ に対して成り立つ場合、型 III 因子において $A = \sum C_j$ かつ $C_j \sim B$ となるための必要十分条件が提示された。その条件は $\|A\|_e = \|B\|$ かつ $\chi_{\{\|B\|\}}(B) = 0$ であり、これが両方必要かつ十分である。
• 半有限因子では、$\|A\|_e = \|B\|$ かつ $\chi_{\{\|B\|\}}(B) = 0$ が、すべての $j$ に対して $N_{C_j}$ が無限大次元である限り、$A = \sum C_j$ かつ $C_j \sim B$ となるための必要十分条件である。
• $B = \|B\|\chi_{\{\|B\|\}}(B)$ かつ $A = \|A\|_e\chi_{\{\|A\|_e\}}(A)$ である場合、$\chi_{\{\|A\|_e\}}(A)$ が無限大であり、$\|A\|_e = \|B\|$ であれば、分解が存在する。
• ユニタリ同値性（$C_j \cong B$）の場合、$A = \sum C_j$ かつ $C_j \cong B$ となるのは、$\|A\|_e > \|B\|$ または $\|A\|_e = \|B\|$ かつ $\chi_{\{\|B\|\}}(B) = 0$ であり、$N_A \prec N_B$ であるときである。
• 型 III 因子では、$A = \sum C_j$ かつ $C_j \cong B$ となるのは、$\|A\| > \|B\|$ または $\|A\| = \|B\|$、$0 \in \sigma_e(B)$、$N_A \prec N_B$ であり、追加のスペクトルおよび射影条件を満たすときである。