[論文レビュー] Sums of the triple divisor function over values of a ternary quadratic form

Qingfeng Sun, Deyu Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ヴォロノイ和公式と特徴和の推定を用いて、3次形式 n₁² + n₂² + n₃² の値における三重除数関数 τ₃(n) の和の初の漸近公式を確立する。1 ≤ n₁,n₂,n₃ ≤ √x における和は、(log x)²、log x、定数項を含む主要項を有し、誤差項が Oε(x¹¹/⁸⁺ε) であることを証明する。これは、三平方の和における τ₃ の既存の境界を著しく改善する。

ABSTRACT

Let $τ_3(n)$ be the triple divisor function which is the number of solutions of the equation $d_1d_2d_3=n$ in natural numbers. It is shown that $$ \sum_{1\leq n_1,n_2,n_3\leq \sqrt{x}}τ_3(n_1^2+n_2^2+n_3^2)=c_1x^{\frac{3}{2}}(\log x)^2+ c_2x^{\frac{3}{2}}\log x +c_3x^{\frac{3}{2}} +O_{\varepsilon}(x^{\frac{11}{8}+\varepsilon}) $$ for some constants $c_1$, $c_2$ and $c_3$.

研究の動機と目的

• 3次形式 n₁² + n₂² + n₃² の値における三重除数関数 τ₃(n) の和の漸近公式を確立すること。
• k = 3 の場合、すなわち τ₃(n) が d₁d₂d₃ = n を満たす順序付き三重組 (d₁,d₂,d₃) の個数を数える場合に、二変数および三変数形式における τ(n) の既存結果を拡張すること。
• 特に、郭と斎の O(x⁴/³) の境界を上回る、三平方の和における τ₃(n) の和の誤差項を改善すること。
• ヴォロノイ和公式と特徴和の解析を用いて、特殊L関数および算術定数を含む明示的な主要項を導出すること。
• リーマンゼータ関数、ガウス和、スタイエリウス定数を含む、正確な係数を伴う完全な漸近展開を提供すること。

提案手法

• 和 ∑_{n₁,n₂,n₃ ≤ √x} τ₃(n₁² + n₂² + n₃²) にヴォロノイ和公式を適用し、指数和とベッセル関数の和に変換する。
• τ₃(n) のヴォロノイ公式を用いて、クルーストマン和とベッセル関数の重み付き和として和を表現し、解析接続および定常位相解析を可能にする。
• 得られた和を二重区間へ分解し、円周法を適用し、指数和の推定を用いて主要弧と微小弧に分離する。
• 有限体上の非退化な指数和の性質を用いて、形 𝒞(b₁,b₂,b₃,n,m,v;q) のねじれ特徴和を推定する。
• フの(2003)の非退化性基準を適用し、F_p² 上の指数和を評価し、特徴和に対して O(p⁵/²) の境界を保証する。
• 特徴和の境界をベッセル関数の構造と2次形式の幾何学的性質と組み合わせ、主要項の係数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 x → ∞ のとき、∑_{1≤n₁,n₂,n₃≤√x} τ₃(n₁² + n₂² + n₃²) の漸近的挙動は何か？
• RQ2 三平方の和における τ₃(n) の漸近公式の誤差項は、O(x⁴/³) を超えて改善可能か？
• RQ3 漸近展開における正確な主要項は何か？また、ζ(3)、γ、γ₁ などの算術定数にどのように依存するか？
• RQ4 係数 𝒞₀, 𝒞₁, 𝒞₂ および 𝒥₀, 𝒥₁, 𝒥₂ は、問題のスペクトル的および算術的構造からどのように生じるか？
• RQ5 ヴォロノイ和公式と特徴和推定の手法は、k ≥ 4 における三変数形式における τₖ(n) へ拡張可能か？

主な発見

• 和 ∑_{1≤n₁,n₂,n₃≤√x} τ₃(n₁² + n₂² + n₃²) は、x³/²(log x)²、x³/² log x、x³/² の主要項を伴う漸近展開を有する。
• 主項の係数は (𝒞₀𝒥₀)/4 であり、𝒞₀ は q に関する無限和 ∑_q 1/q⁵ にガウス和およびクルーストマン和を含み、𝒥₀ は log u と e(βv²) を含む実積分である。
• 誤差項は Oε(x¹¹/⁸⁺ε) であり、郭と斎の O(x⁴/³) の境界を上回り、このような和の予想される最良境界 O(x¹⁺ε) に近づく。
• 2番目の主要項係数は (1/2)(𝒞₁𝒥₀ + 𝒞₀𝒥₁) であり、𝒞₁ と 𝒥₁ は主項に対する対数的および算術的補正を含む。
• 3番目の主要項係数は 𝒞₂, 𝒥₂ および低次の算術的補正を含み、log n, log q, γ, γ₁ に関する明示的表現を持つ。
• 同様の漸近公式が、∑_{n₁²+n₂²+n₃² ≤ x} τ₃(n₁²+n₂²+n₃²) の全球領域の和に対しても得られ、係数はそれぞれ 2 と 4 にスケーリングされ、誤差項は同一である。