[論文レビュー] Super-positivity of a family of L-functions

Dorian Goldfeld, Bingrong Huang|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$SL(2,\mathbb{Z})$ に対して、その関連する $L$-関数がスーパー正性を示す——つまり、$s=1/2$ における完成化された $L$-関数のすべての導関数が非負である——ようなモジュラー形式が無限に存在することを証明している。証明は、モリフィケーション技術とモーメント推定を用いて、その族に属する $L$-関数の正の割合がスーパー正性条件を満たすことを示しており、このような形式の密度について明示的な上限が得られている。

ABSTRACT

Zhiwei Yun and Wei Zhang introduced the notion of "super-positivity of self dual L-functions" which specifies that all derivatives of the completed L-function (including Gamma factors and power of the conductor) at the central value $s = 1/2$ should be non-negative. They proved that the Riemann hypothesis implies super-positivity for self dual cuspidal automorphic L-functions on $GL(n)$. Super-positivity of the Riemann zeta function was established by Pólya in 1927 and since then many other cases have been found by numerical computation. In this paper we prove, for the first time, that there are infinitely many L-functions associated to modular forms for $SL(2, \mathbb{Z})$ each of which has the super-positivity property. Our proof also establishes that all derivatives of the completed L-function at any real point $σ> 1/2$ must be positive.

研究の動機と目的

• $GL(2,\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上の自己双対的で尖域なアーベル的 $L$-関数がスーパー正性を有する無限に多くの存在を確立すること。
• これらの $L$-関数について、$s=1/2$ における完成化された $L$-関数のすべての導関数が非負であることを証明すること。
• $s=1/2$ でのスーパー正性を、すべての実数 $\sigma > 1/2$ に拡張し、そこでのすべての導関数が厳密に正であることを示すこと。
• ゼロ非存在領域を用いた導関数の符号解析を組み合わせることで、個々の $L$-関数のスーパー正性を検証する構成的手段を提供すること。

提案手法

• $L$-関数のモリフィケーションを、滑らかなカットオフ関数の族を用いて行い、$L$-関数およびその導関数の大きさを制御すること。
• 近似関数方程式と積分変換を用いて、$L$-関数の値をスペクトル族上の平均値に関連付けること。
• $|L(\sigma + it, f)|^2$ のモーメント推定を応用し、モリフィケーション処理を施した $L$-関数およびその導関数の大きさを制御すること。
• ゼロ密度評価と積分マジョライゼーションを用いて、臨界帯域に近い $\sigma > 1/2$ におけるゼロのない $L$-関数の密度を推定すること。
• 関数方程式と対称性を用いて、$s=1/2$ における値を右半平面の値に関連付け、導関数の符号解析を可能にすること。
• 双曲的および三角関数を含む積分の数値評価を実施し、スーパー正性を破る $L$-関数の割合に対する明示的な上界を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SL(2,\mathbb{Z})$ に対して、$s=1/2$ における完成化された $L$-関数のすべての導関数が非負であるようなモジュラー $L$-関数が無限に存在するか？
• RQ2 スーパー正性は、$s=1/2$ のみでなく、すべての実数 $\sigma > 1/2$ に対しても確立可能か？
• RQ3 レベル 1 で偶数の重みを持つ正則尖域形式の族に属する $L$-関数のうち、スーパー正性条件を満たすものの割合はどの程度か？
• RQ4 ゼロ非存在領域の推定と導関数の符号解析を組み合わせることで、個々の $L$-関数のスーパー正性を検証可能か？

主な発見

• レベル 1 で偶数の重みを持つ正則尖域形式が無限に存在し、それらの完成化された $L$-関数の $s=1/2$ におけるすべての導関数が非負である。
• これらの $L$-関数について、任意の実数 $\sigma > 1/2$ における完成化された $L$-関数のすべての導関数が厳密に正である。
• 領域 $\sigma \in (1/2,1)$、$|t| \leq \sigma - 1/2$ にゼロを持たない $L$-関数の割合は少なくとも $27\%$ である。これは、スーパー正性を満たす $L$-関数の正の密度を示している。
• 明示的な上限が計算された：$\mathcal{N}_1(K,\Phi)/\mathcal{A}(K,\Phi) \leq 0.19441$、$\mathcal{N}_2(K,\Phi)/\mathcal{A}(K,\Phi) \leq 0.03891$、および $\mathcal{N}_3(K,\Phi)/\mathcal{A}(K,\Phi) \leq 0.00989$ であり、尾部和 $\sum_{j=14}^{J-1} \mathcal{N}_j(K,\Phi)/\mathcal{A}(K,\Phi) \leq 0.01212$ である。
• この手法により、スーパー正性を破る $L$-関数の集合の密度は最大 $63\%$ であると確認され、少なくとも $27\%$ はスーパー正性を満たすことが示された。