[論文レビュー] Superabundant numbers, their subsequences and the Riemann hypothesis

Sadegh Nazardonyavi, Semyon Yakubovich|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 26被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、10080より大きい整数の中で、σ(n)/(n log log n) の比を、10080より小さいすべての整数よりも最大にする数として定義される「極めて豊富な数」を導入する。この数列は、リーマン予想が成り立つための必要十分条件として、無限に多くの極めて豊富な数が存在することであることを示しており、従来の豊富な数や巨大豊富な数よりもスリムで構造的な数列に焦点を当てることで、リーマン予想の検証をより鋭くする新しい基準を提供する。

ABSTRACT

Let σ(n) be the sum of divisors of a positive integer n. Robin's theorem states that the Riemann hypothesis is equivalent to the inequality σ(n)5040 (γis Euler's constant). It is a natural question in this direction to find a first integer, if exists, which violates this inequality. Following this process, we introduce a new sequence of numbers and call it as extremely abundant numbers. In this paper we show that the Riemann hypothesis is true, if and only if, there are infinitely many of these numbers. Moreover, we investigate some of their properties together with superabundant and colossally abundant numbers.

研究の動機と目的

• ロビンの不等式の反例を探索するための、豊富な数や巨大豊富な数よりもスリムで構造的な整数列を同定すること。
• リーマン予想が偽である場合に反例となる可能性がある、新たな数のクラス「極めて豊富な数」を定義・分析すること。
• リーマン予想が成り立つための必要十分条件として、リーマン予想が成り立つのは、極めて豊富な数が無限に存在するときである、という新たな同値性を確立すること。
• 極めて豊富な数の漸近的・構造的性質を、豊富な数や巨大豊富な数と比較して調査すること。

提案手法

• 極めて豊富な数を、10080より大きい整数 n であって、f(n) = σ(n)/(n log log n) が [10080, n) のすべての m に対して f(m) より大きいものとして定義する。10080 を初期値とする。
• リーマン予想の真偽が、すべての n > 5040 に対してロビンの不等式 σ(n) < e^γ n log log n が成り立つことに等しいロビンの定理を活用する。
• ロビンの不等式の反例は、必ず豊富な数である（Akbary & Friggstad, 2009）という事実を用い、これをさらに精錬し、極めて豊富な数の部分列に限定して検討する。
• 連続する極めて豊富な数の成長率を分析し、ある c > 0 に対して n′/n > 1 + c (log log n)^2 / log n および n′/n > 1 + c (log log n)^2 / √log n が成り立つことを示す。
• 250,000番目の豊富な数までおよび8,150番目の極めて豊富な数までを対象に、σ(n)/n、φ(n)、および関連する算術関数の経験的性質を検証する。
• 素基底に基づく構成と数値表を用いて、極めて豊富な数、豊富な数、巨大豊富な数における f(n) = σ(n)/(n log log n) の振る舞いを比較分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 豊富な数よりもスリムで構造的な整数列は、ロビンの不等式の検証に用いることができるか？
• RQ2 リーマン予想は、新たな数のクラス「極めて豊富な数」が無限に存在することと同値に再定式化できるか？
• RQ3 連続する極めて豊富な数の漸近的成長特性は何か？ また、豊富な数や巨大豊富な数と比較してどう異なるか？
• RQ4 σ(n)/n、φ(n)、ω(n) などの主要な算術関数は、極めて豊富な数の列に沿って単調増加する性質を示すか？
• RQ5 極めて豊富な数における関数 f(n) = σ(n)/(n log log n) の振る舞いは、他の既知の数列と比べてどうか？

主な発見

• リーマン予想が成り立つのは、極めて豊富な数が無限に存在するときであると、新たな同値基準を確立した。
• 最初の10個の極めて豊富な数が計算され、f(n) の値は1.75737から1.75860の間で変動し、ゆっくりだが着実に増加していることが確認された。
• 連続する極めて豊富な数 n と n′ に対して、0 < c ≤ 4 の範囲で n′/n > 1 + c (log log n)^2 / log n が成り立ち、また 0 < c ≤ 0.195 の範囲で n′/n > 1 + c (log log n)^2 / √log n が成り立つことが、テスト範囲内で確認された。
• 250,000番目の豊富な数までを対象に、極めて豊富な数の集合における g(n) = n / ω(n) は増加関数である。
• C₂ までを対象に、超豊富な数列における σ(n ⌊σ(n)/n⌋) は増加関数であり、同様に極めて豊富な数列における φ(n ⌊σ(n)/n⌋) や関連関数に対しても単調性が成立する。
• 極めて豊富な数列に沿って関数 f(n) = σ(n)/(n log log n) は増加しており、f(n) > f(g(p)) が s₄₉ < n < C₂ を満たす SA 内の n に対して成り立つ。ここで g(p) = lcm(1,2,…,p) である。