[論文レビュー] Superconducting phase in the BCS model with imaginary magnetic field

Yohei Kashima|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、グラスマンガウス積分表現と二重スケール統合スキームを用いて、虚数外部磁場を伴う縮小された四次元BCS模型における自発的U(1)対称性の破れ（SSB）および非対角的長距離相関（ODLRO）を証明する。主な結果は、従来のBCS模型がSSBおよびODLROを示さない高温・弱結合領域においても、スピン-z演算子への純虚数結合を導入することにより、ギャップ方程式が変更され、従来は到達不可能であったパラメータ領域で超伝導秩序が出現することである。

ABSTRACT

We prove that in the reduced quartic BCS model with an imaginary external magnetic field a spontaneous U(1)-symmetry breaking (SSB) and an off-diagonal long range order (ODLRO) occur. The system is defined on a hyper-cubic lattice with periodic boundary conditions at positive temperature. In the free part of the Hamiltonian we assume the nearest-neighbor hopping. The chemical potential is fixed so that the free Fermi surface does not degenerate. The term representing the interaction between electrons' spin and the imaginary external magnetic field is the z-component of the spin operator multiplied by a pure imaginary parameter. The SSB and the ODLRO are shown in the infinite-volume limit of the thermal average over the full Fermionic Fock space. The magnitude of the negative coupling constant must be larger than a certain value so that the gap equation is solvable. The gap equation is different from that of the conventional mean field BCS model because of the presence of the imaginary magnetic field. By adjusting the imaginary magnetic field this model shows the SSB and the ODLRO in high temperature, weak coupling regimes where the conventional reduced BCS model does not show these phenomena. The proof is based on Grassmann Gaussian integral formulations and a double-scale integration scheme to analytically control the formulations.

研究の動機と目的

• 虚数外部磁場を伴う縮小BCS模型における自発的U(1)対称性の破れ（SSB）および非対角的長距離相関（ODLRO）の存在を確立すること。
• 従来のBCS理論がSSBおよびODLROを示さない高温・弱結合領域へ、超伝導の数学的解析を強結合領域から拡張すること。
• 無限体積極限における完全なフェルミオン的フォック空間熱平均を制御する、グラスマン積分に基づく厳密な場の理論的枠組みを構築すること。
• スピン-z演算子に比例する純虚数磁場項の導入が、ギャップ方程式を変化させ、従来は到達不可能であったパラメータ領域で超伝導秩序を可能にすることを示すこと。
• グラスマン積分表現における補正項の無限体積極限の構成的証明を行い、SSBおよびODLROの結果の有効性を保証すること。

提案手法

• 周期的境界条件および固定化学ポテンシャル（非 degenerate 自由フェルミ面を保証）を備えた超立方格子上にBCSハミルトニアンを定式化する。
• スピン-z演算子（Sz）への純虚数結合を導入することで、虚数外部磁場を導入し、ハミルトニアンの相互作用項を変更する。
• グラスマンガウス積分表現を用いてグランドカノニカル分配関数を表現し、フェルミオン的関数積分技法を可能にする。
• 非ガウス的相互作用項を管理するため、二段階に分けて統合を行う二重スケール統合スキームを適用する。
• ツリー展開および行列式の上限（Pedra-Salmhoferに従う）を用いて、結合定数における級数展開の収束を推定する。
• 一時的なパラメータ（λ1, λ2）およびKac型正則化を導入し、統合過程における解析的および収束性を保証し、後に物理的モデルに回復する極限を取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 虚数磁場を伴う縮小BCS模型において、自発的U(1)対称性の破れおよび非対角的長距離相関を厳密に確立できるか？
• RQ2 虚数磁場項の導入により、従来のBCS模型がSSBやODLROを示さない高温・弱結合領域でも超伝導秩序が可能になるか？
• RQ3 虚数磁場の存在が、標準的な平均場BCS模型と比較してギャップ方程式にどのように影響を与えるか？
• RQ4 このモデルにおいて、完全なフェルミオン的フォック空間の熱平均の無限体積極限は適切に定義され、非自明な値をとるか？
• RQ5 グラスマン積分表現と二重スケール統合スキームを組み合わせることで、この非自明な領域における相関関数を厳密に制御できるか？

主な発見

• 虚数外部磁場を伴う縮小四次元BCS模型における自発的U(1)対称性の破れ（SSB）および非対角的長距離相関（ODLRO）が、無限体積極限で厳密に証明された。
• 従来のBCS模型がSSBおよびODLROを示さない高温・弱結合領域においても、虚数磁場によって変更されたギャップ方程式のおかげで、本モデルはSSBおよびODLROを示す。
• 本モデルのギャップ方程式は、虚数磁場の存在により、標準的なBCS平均場方程式とは異なり、有効な対称性の対生成相互作用に非自明なシフトをもたらす。
• グラスマン積分表現における補正項の無限体積極限の存在が証明され、SSBおよびODLROを導出する際に用いられた級数展開の収束が保証された。
• 二重スケール統合スキームに加え、ツリー展開および行列式の上限（Pedra-Salmhofer）を用いることで、グラスマン積分が厳密に制御され、完全なフォック空間における非摂動的結果が得られた。
• ギャップ方程式が解けるためには、負の結合定数の絶対値が臨界閾値を超える必要があり、モデル内に相転移の臨界点が存在することを示唆している。