[論文レビュー] Superenergy tensors and their applications

José M. M. Senovilla|ArXiv.org|Feb 20, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般化された支配的エネルギー条件を満たす因果的テンソル—つまり、任意のテンソルから一意に構成される、因果的かつ二次的なスーパエネルギーテンソルの構築法を確立する。主な貢献は、任意次元のローレンツ多様体における発散なしのカレントの生成、場の伝播の解析、およびスーパエネルギーに基づく基準による一般化された対称性の分類を統合的に扱う枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

In Lorentzian manifolds of any dimension the concept of causal tensors is introduced. Causal tensors have positivity properties analogous to the so-called ``dominant energy condition''. Further, it is shown how to build, from ANY given tensor $A$, a new tensor quadratic in $A$ and ``positive'', in the sense that it is causal. These tensors are called superenergy tensors due to historical reasons because they generalize the classical energy-momentum and Bel-Robinson constructions. Superenergy tensors are basically unique and with multiple and diverse physical and mathematical applications, such as: a) definition of new divergence-free currents, b) conservation laws in propagation of discontinuities of fields, c) the causal propagation of fields, d) null-cone preserving maps, e) generalized Rainich-like conditions, f) causal relations and transformations, and g) generalized symmetries. Among many others.

研究の動機と目的

• ローレンツ多様体における因果的テンソルを定義・特徴づけ、任意のテンソルランクに一般化された支配的エネルギー条件を提示すること。
• 与えられた任意のテンソルからスーパエネルギーテンソルを一意に構成する標準的手続きを確立し、正値性と因果的性質を保証すること。
• スーパエネルギーテンソルを用いて、場の伝播における新たな発散なしのカレントおよび保存則を導出すること。
• 計量テンソルの変形を用いた一般化された対称性の分類を通じて、共形対称性およびキリング対称性を拡張すること。
• 光錐を保存する写像、ライニッヒ型条件、因果的変換の解析のための幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• 未来向き因果的ベクトル $ \boldsymbol{u}_i \in \Theta^+ $ に対して $ T(\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2, \text{...}, \boldsymbol{u}_r) \rangle 0 $ を満たすとき、テンソル $ T $ が因果的であると定義する。この性質を「支配的性質」と呼ぶ。
• 任意のテンソル $ A $ から、計量の縮約と対称化を用いて一意に定まる二次的構成により、スーパエネルギーテンソルを定義し、因果的性質を保証する。
• テンソルのインデックスを縮約する積演算 $ T^{(1)}{}_{i}\times_{j}T^{(2)} $ を用い、合成において因果的性質が保存されることを保証する。
• $ \mathcal{DP}^+ $ の特徴づけ（例えば、零ベクトル上で非負性であること、正規直交基底で有界であること）を用いて因果的性質の検証を行う。
• ベクトル場 $ \vec{\xi} $ が、$ \mathcal{L}_{\vec{\xi}}g - 2\psi g \in \mathcal{DP}_2 $ を満たすとき、因果的変換の1パラメータ部分モノイドを生成することを導出する。
• ベクトル場 $ \vec{\xi} $ による $ \mathcal{L}_{\vec{\xi}}g - 2\psi g $ の零固有ベクトルの数を解析することで、一般化された対称性を分類し、共形対称性およびキリング対称性を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ時空における任意ランクテンソルに対して、支配的エネルギー条件をどのように一般化できるか？
• RQ2 与えられた任意のテンソルから、物理的・幾何学的意味を持つ因果的かつ二次的テンソル（スーパエネルギーテンソル）に変換する標準的構成法は何か？
• RQ3 スーパエネルギーテンソルを用いて、場の伝播における新たな発散なしのカレントおよび保存則をどのように定義できるか？
• RQ4 スーパエネルギーテンソルを用いることで、キリング対称性や共形対称性を超える一般化された対称性をどのように分類できるか？
• RQ5 1パラメータ微分同相群が時空の因果的構造を保存するための条件は何か？また、これをどのようにスーパエネルギーを用いて特徴づけられるか？

主な発見

• スーパエネルギーテンソルは、任意のテンソル $ A $ から、置換不変な二次的標準手続きにより一意に構成され、$ \mathcal{DP}^+ $ に属し、因果的であることが保証される。
• ベクトル場 $ \vec{\xi} $ による計量の変形 $ \mathcal{L}_{\vec{\xi}}g - 2\psi g $ が因果的であるための必要十分条件は、$ \mathcal{DP}_2 $ に属することである。これは一般化された対称性を特徴づける基準を提供する。
• ロバートソン＝ウォーカー時空では、ベクトル場 $ \vec{\xi} = \partial / \partial x^0 $ が因果的変換の1パラメータ部分モノイドを生成するための必要十分条件は $ \dot{a} \leq 0 $、すなわち時空が非拡張的であることである。
• 計量のリー微分 $ \mathcal{L}_{\vec{\xi}}g $ は、1形式のスーパエネルギーテンソルの和として表現可能であり、一般化された対称性の完全な分類が可能になる。
• 時間的ベクトル $ \xi $ のスーパエネルギーテンソル $ T\{\xi\} $ は、$ \mathcal{L}_{\vec{\xi}}g $ の式に明示的に現れ、幾何的対称性とスーパエネルギー構造を結びつける。
• 条件 $ \mathcal{L}_{\vec{\xi}}g - 2\psi g \in \mathcal{DP}_2 $ は、共形対称性およびキリング対称性を一般化するものであり、$ N $ 個の零固有ベクトルを持つ場合、それは共形キリングベクトルに対応する。