[論文レビュー] Supergroupoids, double structures, and equivariant cohomology

Rajan Amit Mehta|ArXiv.org|May 14, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 52被引用数 73

ひとこと要約

本稿は、同調的ベクトル場を備えた可換なスーパーグループオイドおよびスーパーアルゲブライト—Q-グループオイドおよびQ-アルゲブライト—を導入し、MackenzieのLA-グループオイドと二重複体の間の仲介役としての役割を確立する。Q-アルゲブライトから二重複体を構成し、その二重複体はBRSTモデルの等変コホモロジー、リーダルジン双代数のドリンフェルト双対、ギンツブルグの等変ポアソンコホモロジーを実現する。さらに、Q-グループオイドとQ-アルゲブライトの二重複体の間の関係を示すスーパーグループオイド版のvan Est写像を証明する。

ABSTRACT

Q-groupoids and Q-algebroids are, respectively, supergroupoids and superalgebroids that are equipped with compatible homological vector fields. These new objects are closely related to the double structures of Mackenzie; in particular, we show that Q-groupoids are intermediary objects between Mackenzie's LA-groupoids and double complexes, which include as a special case the simplicial model of equivariant cohomology. There is also a double complex associated to a Q-algebroid, which in the above special case is the BRST model of equivariant cohomology. Other special cases include models for the Drinfel'd double of a Lie bialgebra and Ginzburg's equivariant Poisson cohomology. Finally, a supergroupoid version of the van Est map is used to give a homomorphism from the double complex of a Q-groupoid to that of a Q-algebroid.

研究の動機と目的

• Q-グループオイドおよびQ-アルゲブライトを用いた等変コホモロジーのスーパージオメトリックな枠組みを構築すること。
• Q-グループオイドを中間構造として導入することで、MackenzieのLA-グループオイドと二重複体を結ぶこと。
• Q-アルゲブライトから得られる二重複体を構成し、既知の等変コホモロジーのモデル（BRSTおよびポアソンコホモロジーを含む）を実現すること。
• Q-グループオイドとQ-アルゲブライトのコホモロジーを結ぶために、van Est写像をスーパージオメトリックな設定に一般化すること。
• 単体的多様体と分類空間の幾何的実現を用いて、この枠組みにおける等変コホモロジーの幾何的実現を提供すること。

提案手法

• Q-グループオイドおよびQ-アルゲブライトを、可換な同調的ベクトル場を備えたスーパーグループオイドおよびスーパーアルゲブライトとして定義する。
• 左不変ベクトル場と乗法的構造を通じて、Lie関手を用いてQ-グループオイドとQ-アルゲブライトを関連付ける。
• de Rham微分と単体的コバウンダリー作用素を用いて、Q-アルゲブライトから二重複体を構成する。
• Q-グループオイドの二重複体とその関連するQ-アルゲブライトの二重複体を結ぶために、スーパーグループオイド版のvan Est写像を適用する。
• 作用グループオイドのネ}_{ルを用いた単体的多様体と幾何的実現を用い、分類空間と等変コホモロジーをモデル化する。
• スペクトル系列の議論と分類空間の収縮性を用いて、二重複体の全コホモロジーと等変コホモロジー $ H^ullet_G(M) $ の間に同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q-グループオイドは、MackenzieのLA-グループオイドと二重複体の間でどのように仲介的役割を果たすか？
• RQ2 Q-アルゲブライトから生じる二重複体構造は何か？ そして、その構造が既知の等変コホモロジーのモデルをどのように回復するか？
• RQ3 van Est写像は、スーパージオメトリックな設定に一般化可能か？ そして、Q-グループオイドとQ-アルゲブライトのコホモロジーを結ぶ写像として成立するか？
• RQ4 Q-アルゲブライトは、BRST複体とギンツブルグの等変ポアソンコホモロジーをどのようにモデル化するか？
• RQ5 単体的多様体と幾何的実現は、この枠組みにおける等変コホモロジーの実現において、どのように役立つか？

主な発見

• Q-グループオイドがLA-グループオイドと二重複体の間の仲介対象として同定され、これらの構造のスーパージオメトリックな統合を実現することが示された。
• Q-アルゲブライトに関連する二重複体は、等変コホモロジーのBRSTモデルを特別な場合として実現する。
• 同じ二重複体の構成は、リーダルジン双代数のドリンフェルト双対およびギンツブルグの等変ポアソンコホモロジーもモデル化する。
• スーパーグループオイド版のvan Est写像が構成され、Q-グループオイドの二重複体からその関連するQ-アルゲブライトの二重複体へのホモオムォーフィズムが得られた。
• Q-アルゲブライトの二重複体の全コホモロジーは、作用グループオイドのネ}_{ルを通じて実現される等変コホモロジー $ H^ullet_G(M) $ と同型である。
• $ |Nar{M}| $ の収縮性と同型 $ |Nar{G}|/G \to |NG| $ が確認され、分類バンドル構造が正当化され、単体的設定におけるBorelモデルが裏付けられた。