[論文レビュー] Supermoduli Space Is Not Projected

Ron Donagi, Edward Witten|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 49

ひとこと要約

この論文は、$\mathfrak{M}_g$ と表記される超リーマン面のモジュライ空間が、$g \geq 5$ の場合、射影可能（したがって分解可能でもない）であることを証明している。これは、通常のリーマン面にスピン構造を備えたその底面の空間に、ホロモーフィックに射影できないことを意味する。この結果は、特に第二の障害類 $\omega_2$ を用いたコhomological障害理論によって確立され、超モジュライ空間はボソン的モジュライ空間から構成可能な範囲をはるかに超える内在的な幾何的複雑性を有していることが示された。

ABSTRACT

We prove that for genus greater than or equal to 5, the moduli space of super Riemann surfaces is not projected (and in particular is not split): it cannot be holomorphically projected to its underlying reduced manifold. Physically, this means that certain approaches to superstring perturbation theory that are very powerful in low orders have no close analog in higher orders. Mathematically, it means that the moduli space of super Riemann surfaces cannot be constructed in an elementary way starting with the moduli space of ordinary Riemann surfaces. It has a life of its own.

研究の動機と目的

• 超リーマン面のモジュライ空間 $\mathfrak{M}_g$ が、通常のリーマン面にスピン構造を備えたその底面の空間 $\mathcal{SM}_g$ にホロモーフィックに射影可能かどうかを特定すること。
• 超弦摂動理論および超幾何学における長年の未解決問題である、このような射影の存在に関する疑問を解決すること。
• $\mathfrak{M}_g$ が $g \geq 5$ の場合に分解可能でもないし射影可能でもないことを確立し、これはボソン的モジュライ空間から単純な方法で構成できないことを示唆する。
• マークされた点を備えた超リーマン面に対しても結果を拡張し、$g \geq 2$ かつ $n \geq 1$ の場合に、偶数スピン構造を有する場合に非射影的であることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、特に $H^1(\mathcal{SM}_g, \Omega^1(\mathcal{SM}_g) \otimes \mathcal{S}^2 \Omega^1(\mathcal{SM}_g))$ に属するクラス $\omega_2$ を用いたコhomological障害理論を用い、分解や射影の失敗を検出している。
• 彼らは、超多様体とその部分多様体の間で障害類を関連付けるための補題 2.11（適合性補題）を適用し、$\mathfrak{M}_g$ とその部分構造との間の障害を比較可能にしている。
• 証明は、$g \geq 5$ の場合に $\omega_2$ が非ゼロであることに依拠しており、これはモジュライ空間 $\mathcal{SM}_g$ 及びその余接 bundle の幾何から導かれる。
• 彼らは、$(1|1)$ 超多様体上の超等角構造を、局所的超等角座標および奇数次元のベクトル場 $v = \partial_\theta + \theta \partial_x$ を用いて分析しており、これらは非可積分な分布を生成する。
• 超リーマン面は、点と最小的除集合との間に自然な1対1対応を有することを用い、これにより超モジュライ空間の構成と解析が可能になる。
• 一旦 $\mathfrak{M}_{g,1}$ に対して非射影性が確立されれば、簡単な還元論法により $\mathfrak{M}_{g,n}$ への拡張がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超リーマン面のモジュライ空間 $\mathfrak{M}_g$ は、$g \geq 5$ の場合に、その底面の空間 $\mathcal{SM}_g$ にホロモーフィックに射影可能か？
• RQ2 超モジュライ空間 $\mathfrak{M}_g$ は分解可能か？すなわち、ボソン的モジュライ空間 $\mathcal{SM}_g$ から基本的な超幾何学的構成により構成可能か？
• RQ3 マークされた点が追加された場合、$\mathfrak{M}_g$ の非射影性は維持されるか？特に $g \geq 2$ かつ $n \geq 1$ の場合に。
• RQ4 第二の障害類 $\omega_2$ は、特に超リーマン面の文脈において、超多様体の射影可能性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $\mathfrak{M}_g$ の非射影性は、$\mathcal{SM}_g$ の幾何の結果であるのか、それともより深いコhomology的障害に起因するのか？

主な発見

• 第二の障害類 $\omega_2$ の非ゼロ性により、$g \geq 5$ の場合に超モジュライ空間 $\mathfrak{M}_g$ は非射影的（したがって非分解的）であることが示された。
• $g \geq 2$ の場合、1つのマークされた点と偶数スピン構造を備えたモジュライ空間 $\mathfrak{M}_{g,1}$ に対しても非射影的である。
• この結果は、$g \geq 2$、$n \geq 1$、かつ $g-1 \geq n$ を満たす $\mathfrak{M}_{g,n}$ に拡張可能であり、$g$ が偶数の場合は偶数スピン構造を仮定する。
• 非射影性の障害は、$H^1(\mathcal{SM}_g, \Omega^1(\mathcal{SM}_g) \otimes \mathcal{S}^2 \Omega^1(\mathcal{SM}_g))$ に属するコhomology類 $\omega_2$ によって支配され、$g \geq 5$ の場合にゼロでないことが判明した。
• 非射影性は、$\mathcal{SM}_g$ から基本的な超幾何学的構成により $\mathfrak{M}_g$ を再構成できないことを示唆し、これは $\mathfrak{M}_g$ が独自の幾何的本質を持つことを示している。