[論文レビュー] Superrigidity, Weyl groups, and actions on the Circle

Uri Bader, Alex Furman+1 more|ArXiv.org|May 10, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 35被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクト群とその境界に関連する一般化されたワイル群（有限群）を用いて、superrigidityを新たに確立する。この手法により、PSL₂(R) への埋め込みを介して母体群に拡張されるか、あるいはそのような作用に半同型的に写される非自明な S¹ 上の作用について、格子表現および可測コサイクルに対する剛性結果を確立する。これは、Ghysの定理を一般化し、群の積および A₂ ビルディングについても新たな結果をもたらす。

ABSTRACT

We propose a new approach to superrigidity phenomena and implement it for lattice representations and measurable cocycles with homeomorphisms of the circle as the target group. We are motivated by Ghys' theorem stating that any representation $ o:Γ o\Homeo_+(S^1)$ of an irreducible lattice $Γ$ in a semi-simple real Lie group $G$ of higher rank, either has a finite orbit or, up to a semi-conjugacy, extends to $G$ which acts through an epimorphism $G o\PSL_{2}(\RR)$. Our approach, based on the study of abstract boundary theory and, specifically, on the notion of a generalized Weyl group, allows: (A) to prove a similar superrigidity result for irreducible lattices in products $G=G_{1} imes... G_{n}$ of $n\ge 2$ general locally compact groups, (B) to give a new (shorter) proof of Ghys' theorem, (C) to establish a commensurator superrigidity for general locally compact groups, (D) to prove first superrigidity theorems for $ ilde{A}_{2}$ groups. This approach generalizes to the setting of measurable circle bundles; in this context we prove cocycle versions of (A), (B) and (D). This is the first part of a broader project of studying superrigidity via generalized Weyl groups.

研究の動機と目的

• 一般化されたワイル群を用いて、超剛性現象を統一的に扱う枠組みを構築すること。
• 高ランク格子の円周作用に関する Ghys の定理を、局所コンパクト群の積へ一般化すること。
• 一般化された局所コンパクト群に対して、共役群超剛性および Š2 群に対する新たな超剛性定理を確立すること。
• 可測円周バンドルの枠組みを用いて、可測コサイクルへ結果を拡張すること。
• 境界論およびワイル群構造を用いて、Ghys の元々の定理のより短く概念的な証明を提供すること。

提案手法

• アメニタリティおよび係数の二重エルゴード性を用いて、局所コンパクト群 G と G-境界 B に関連する一般化されたワイル群 W_{G,B} を定義する。
• W_{G,B} の構造を用いて剛性を検出する：非巡回なワイル群は、S¹ 上の作用に強い制約をもたらす。
• 抽象的境界論および可測力学を応用し、コサイクルの回転数および固定点の挙動を分析する。
• 可測セクションの空間に G-不変な擬距離 D を構成し、コンパクトな等距変換群および不変確率測度を導く。
• 半同型性および回転数の分析を用いて、非自明な作用を拡張型または近接型に分類する。
• 最小性および不変性を活用して、非自明な場合に無理数回転数が生じることを排除し、矛盾に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子表現 Homeo₊(S¹) が母体群に拡張される条件は何か？
• RQ2 一般化されたワイル群 W_{G,B} の構造は、円周作用における剛性をどのように制御するか？
• RQ3 Ghys の定理は、より概念的かつ一般化可能な方法で再証明可能か？
• RQ4 局所コンパクト群の積における格子に対して、どのような超剛性結果が成り立つか？
• RQ5 Š2 群は円周作用に対して超剛性を示すか？ もし示すならば、その方法は何か？

主な発見

• n ≥ 2 である積 G = G₁ × ⋯ × Gₙ における非自明な格子に対して、S¹ 上の任意の非自明な作用は、有限軌道を持つか、または PSL₂(R) を通して因数化される作用に半同型的に写される。
• 本稿は、一般化されたワイル群および境界論を用いて、Ghys の定理のより短く概念的な証明を提供する。
• 同じ枠組みを用いて、一般化された局所コンパクト群に対して共役群超剛性が確立される。
• Weyl 群に S₃ を含む境界を備えた Š2 群に対して、初めて超剛性定理が証明される。
• 可測コサイクルに対しても同様の分類が成り立つ：非自明なコサイクルは、強力に近接型であるか、または PSL₂(R) を通して因数化される作用に半同型的に写される。
• 関連する上への持ち上げの回転数 τ が作用の型を決定する；無理数 τ は、G-不変測度の存在により矛盾を引き起こす。