[論文レビュー] Superset Technique for Approximate Recovery in One-Bit Compressed Sensing

Larkin Flodin, Venkata Gandikota+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2019

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1ビット圧縮センシング（1bCS）における近似再構成のための新規スーパー集合技術を導入する。ここで、測定値の部分集合が信号のサポートのスーパーセットを特定し、その後にガウス測定を用いてそのスーパーセット内での信号再構成を行う。この手法は、近似再構成のための最適なサンプル複雑度 $ olimits cal{O}(k\log\frac{n}{k} + \frac{k}{\epsilon}\log\frac{k}{\epsilon})$ を達成し、既存の最良の境界と一致する一方で、普遍的かつ非適応的な行列設計を可能にする。

ABSTRACT

One-bit compressed sensing (1bCS) is a method of signal acquisition under extreme measurement quantization that gives important insights on the limits of signal compression and analog-to-digital conversion. The setting is also equivalent to the problem of learning a sparse hyperplane-classifier. In this paper, we propose a novel approach for signal recovery in nonadaptive 1bCS that matches the sample complexity of the current best methods. We construct 1bCS matrices that are universal - i.e. work for all signals under a model - and at the same time recover very general random sparse signals with high probability. In our approach, we divide the set of samples (measurements) into two parts, and use the first part to recover the superset of the support of a sparse vector. The second set of measurements is then used to approximate the signal within the superset. While support recovery in 1bCS is well-studied, recovery of superset of the support requires fewer samples, and to our knowledge has not been previously considered for the purpose of approximate recovery of signals.

研究の動機と目的

• 1ビット圧縮センシングにおける普遍的近似再構成のサンプル複雑度のギャップを埋める。
• すべての $k$-スパース信号に対して高い確率で動作する非適応的測定スキームを開発する。
• まずサポートのスーパーセットを回復することで、近似信号再構成に必要な測定回数を削減する。
• スーパー集合回復を段階的ステップとして用いることで、普遍的測定行列の理論的保証を提供する。
• 既存の1bCSアルゴリズムに対して、構造を変更せずに適用可能な柔軟で低コストの強化手法として、スーパー集合技術の実証的妥当性を検証する。

提案手法

• 測定行列を2つの部分に分割する：$M^{(1)}$ はスーパーセット回復用、$M^{(2)}$ は信号再構成用。
• Bernoulli分布（確率 $1/(k+1)$）を用いた $M^{(1)}$ を用いて、グループテスト復号法により真のサポートの $\mathcal{O}(k)$ サイズのスーパーセットを回復する。
• 回復されたスーパーセット内での信号再構成のために、標準的な1bCS再構成アルゴリズム（例：BIHT）を $M^{(2)}$ に適用する。
• 高確率でスーパーセットを回復できる $\mathcal{O}(k\log\frac{n}{k})$ 行を有する $\mathcal{O}(k)$-リストディスイunktマトリクスの存在を活用する。
• スーパーセット内での $\epsilon$-精度再構成を達成するために、$M^{(2)}$ に $\mathcal{O}(\frac{k}{\epsilon}\log\frac{k}{\epsilon})$ 個のガウス測定を用いる。
• 組合せ設計によるスーパーセット回復とガウス測定による再構成を組み合わせることで、強く明示的な行列を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スーパー集合回復は、正確なサポート回復と比較して、近似1bCS再構成に必要な測定回数を削減できるか？
• RQ2 非適応的1bCSにおいて、スーパー集合サイズと測定コストの最適なトレードオフは何か？
• RQ3 すべての $k$-スパース信号に対して、スーパー集合技術を用いて普遍的測定行列を設計できるか？
• RQ4 再構成誤差の観点から、スーパー集合法は標準的な全ガウス1bCSと比較してどのように異なるか？
• RQ5 スーパー集合技術は、既存の1bCSアルゴリズムのコア構造を変更せずに、プラグインとして適用可能か？

主な発見

• 提案手法は、近似1bCS再構成のためのサンプル複雑度 $\mathcal{O}(k\log\frac{n}{k} + \frac{k}{\epsilon}\log\frac{k}{\epsilon})$ を達成し、既存の最良の上界と一致する。
• Bernoulli行列を用いて $4k\log n$ 測定を行うことで、$\mathcal{O}(k)$ サイズのスーパーセットの高確率回復が保証される。
• 実験的結果では、特に中程度から高めの測定レート領域において、全ガウス行列と比較して $\ell_2$ 再構成誤差がわずかだが一貫して改善されている。
• スーパー集合法は非常に汎用的であり、BIHT や QCoSaMP などの既存の1bCSアルゴリズムと最小限の修正で組み合わせて使用可能である。
• 最適な $\mathcal{O}(k\log\frac{n}{k})$ スーパーセット回復コストに対して、$k^{o(1)}$ のオーバーヘッドでのみ、強く明示的な構成が可能である。
• 本手法は、すべての実数値 $k$-スパース信号に対して高い確率で動作する普遍的1bCS行列の理論的基盤を提供する。