[論文レビュー] Support Recovery in Universal One-bit Compressed Sensing

Arya Mazumdar, Soumyabrata Pal|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、わずかな数の誤検出を許容することで、測定複雑度を著しく削減する、サポート回復のためのユニバーサル1ビット圧縮センシングフレームワークを提案する。ユニバーサル1/2近似サポート回復では$\tilde{O}(k^{3/2})$の測定を達成し、信号のダイナミックレンジが既知の場合には$\tilde{O}(k)$に改善され、ユニバーサル性のコストをほぼ完全に排除する。

ABSTRACT

One-bit compressed sensing (1bCS) is an extreme-quantized signal acquisition method that has been intermittently studied in the past decade. In 1bCS, linear samples of a high dimensional signal are quantized to only one bit per sample (sign of the measurement). The extreme quantization makes it an interesting case study of the more general single-index or generalized linear models. At the same time it can also be thought of as a `design' version of learning a binary linear classifier or halfspace-learning. Assuming the original signal vector to be sparse, existing results in 1bCS either aim to find the support of the vector, or approximate the signal within an $ε$-ball. The focus of this paper is support recovery, which often also computationally facilitate approximate signal recovery. A \emph{universal} measurement matrix for 1bCS refers to one set of measurements that work \emph{for all} sparse signals. With universality, it is known that $ ildeΘ(k^2)$ 1bCS measurements are necessary and sufficient for support recovery (where $k$ denotes the sparsity). In this work, we show that it is possible to universally recover the support with a small number of false positives with $ ilde{O}(k^{3/2})$ measurements. If the dynamic range of the signal vector is known, then with a different technique, this result can be improved to only $ ilde{O}(k)$ measurements. Other results on universal but approximate support recovery are also provided in this paper. All of our main recovery algorithms are simple and polynomial-time.

研究の動機と目的

• ユニバーサル1ビット圧縮センシングによるサポート回復の測定複雑度を低減すること。
• ユニバーサルサポート回復における測定回数と誤検出数のトレードオフを分析すること。
• わずかな数の誤検出または誤検出を許容することで、近似的に最適な測定複雑度を達成すること。
• ユニバーサル近似サポート回復およびスーパーセット回復のための測定要件のタイトな下界を確立すること。
• 信号のダイナミックレンジの知識が、ユニバーサル1ビット圧縮センシングにおける測定複雑度に与える影響を調査すること。

提案手法

• 1ビット圧縮センシングとリストディスジャンクト行列の間の新しい関係を用いて、回復保証を導出する。
• サポートが互いに素であるサイズ$k(1-2\theta)$および$2\theta k$の信号に対して、符号の一貫性を保証する測定行列を構築する。
• 組合せデザインに基づく確率的構成を用いて、$\tilde{O}(k^{3/2})$の測定複雑度を達成する。
• $(k(1-2\theta), 2\theta k)$-リストディスジャンクト行列の構造を活用した多項式時間アルゴリズムを導入する。
• ハミング距離$2\theta k$の符号が等価な$k$スパース信号に基づく背理法を用いて下界を導出し、$m = \Omega(k / \epsilon \cdot \log(n/k))$の測定が必要であることを証明する。
• ダイナミックレンジの仮定を活用して測定設計を精緻化し、$\tilde{O}(k)$の複雑度を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 わずかな数の誤検出を許容することで、ユニバーサル1ビット圧縮センシングによるサポート回復の測定複雑度を$O(k^2)$未満に低下させることは可能か？
• RQ2 ユニバーサル$\epsilon$-近似サポート回復に必要な最小測定回数は何か？ただし$\epsilon < 1/3$とする。
• RQ3 信号のダイナミックレンジの知識が、ユニバーサル1ビット圧縮センシングにおける測定複雑度にどのように影響するか？
• RQ4 ユニバーサルスーパーセット回復の下界が、上界の構成によって達成可能か？
• RQ5 2値測定行列は、1ビット圧縮センシングにおけるユニバーサルサポート回復にどの程度効果的に使用可能か？

主な発見

• 本稿は、$\epsilon < 1/3$の条件下で最大$\epsilon k$の誤検出を許容しながら、$\tilde{O}(k^{3/2})$の測定でユニバーサルサポート回復を達成し、$O(k^2)$の境界を著しく低下させる。
• 信号のダイナミックレンジが既知の場合、測定複雑度は$\tilde{O}(k)$に低下し、ユニバーサル性のペナルティをほぼ完全に排除する。
• ユニバーサル$\epsilon$-近似サポート回復のための下界$\Omega\left(\frac{k}{\epsilon} \left(\log \frac{k}{\epsilon}\right)^{-1} \log \frac{n-k}{\epsilon k}\right)$を確立し、提案手法の近似的最適性を示す。
• この結果はユニバーサル$\epsilon$-スーパーセット回復へも拡張可能であり、同じ下界が成り立つため、スーパーセット回復は近似回復以上に困難であることが示唆される。
• 本稿では、ユニバーサル$\epsilon$-近似サポート回復に必要な測定行列の測定回数$m$が、$\Omega\left(\frac{k}{\epsilon} \log \frac{n-k}{\epsilon k}\right)$以上であることを証明し、上界と対数的要因を除いて一致する。
• 著者らは、$\tilde{O}(k^{3/2})$の上界が、高度な多項式構成を用いることで$\tilde{O}(k)$に改善可能であり、下界とのギャップを埋められると仮定している。