[論文レビュー] Supersymmetric AdS backgrounds and weak generalised holonomy

André Coimbra, Charles Strickland‐Constable|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 49被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、十一次元およびタイプIIスーパーグラビティにおける超対称なAnti-de Sitter (AdS) 背景で、𝒩超対称性を保つものが、弱い一般化ホロノミー構造、具体的には単位スピンターを持つ G_{D,𝒩}-構造によって特徴づけられることを確立している。主な結果は、このような背景がAdS R対称性を実現する等長変換を備え、そのキリングスーパ algebra が標準的な 𝒩 拡張 AdS スーパー代数と同型であるという幾何学的証明であり、AdS/CFT研究における長年の仮定を解消している。

ABSTRACT

We study supersymmetric AdS$_D$ backgrounds of eleven-dimensional or type II supergravity preserving $\mathcal{N}$ supersymmetries using generalised geometry. We show that a large class correspond precisely to spaces admitting a generalised $G_{D,\mathcal{N}}$ structure with a weak integrability condition, which we call "weak generalised holonomy". This class contains all such backgrounds with odd $D$, but for even $D$ we must impose a technical assumption concerning the inner products of Killing spinors. It is known that all compact smooth solutions are included, though our analysis is purely local. We show that the Killing superalgebras of such backgrounds are isomorphic to the standard $\mathcal{N}$-extended AdS$_D$ superalgebras, and give a geometric proof of the existence of isometries of the internal spaces which realise the AdS R-symmetry, as often assumed in explicit studies of such solutions.

研究の動機と目的

• 一般化微分幾何学を用いて、十一次元およびタイプIIスーパーグラビティにおける超対称なAdS背景を特徴づけること。
• 𝒩超対称性を保つような背景を分類するのに適した正確な幾何学的構造、すなわち弱い一般化ホロノミーを同定すること。
• AdS/CFT研究でしばしば仮定されているAdS R対称性の等長変換を、幾何学的に導出すること。
• これらの背景のキリングスーパ algebra が標準的な 𝒩 拡張 AdS スーパー代数と同型であることを証明すること。
• 偶数次元AdS背景において、キリングスピンォーの正規直交性がキリングスピンォー方程式から自動的に導かれないことの役割を明確にすること。

提案手法

• 著者たちは、特に E_{d(d)} × ℝ⁺ 形式を用いた例外的一般化微分幾何学を用いて、AdS背景の内部幾何を記述している。
• 一般化接空間の構造群 G_{D,𝒩} における分解に基づいて、一般化接空間を分解している。この G_{D,𝒩} は、保存された超対称性の数 𝒩 によって決定される。
• 一般化接空間の構造群 G_{D,𝒩} における分解に基づいて、一般化接空間を分解している。
• キリングスピンォーの二次形から一般化キリングベクトルを構成し、それらがR対称性代数に対応する内部空間の等長変換を生成することを示している。
• USp(8) の27次元表現を USp(8−2𝒩)×SU(𝒩) のような部分群に分解することで、一般化接空間の成分のうちR対称性生成子に対応する部分を同定している。
• スーパ algebra 同型の証明は、キリングスピンォーの反交換関係が標準的なAdSスーパ algebra に閉じることを示すことにより行われ、S_{ij}=0 の条件が一貫性を保証している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十一次元およびタイプIIスーパーグラビティにおける超対称なAdS背景で、𝒩超対称性を保つものは、どのような幾何学的構造によって特徴づけられるか？
• RQ2 非ゼロの宇宙定数を持つ場合、一般化ホロノミーの概念はどのように一般化されるか？
• RQ3 偶数次元AdS背景において、キリングスピンォーの正規直交性が非自明な仮定であるのはなぜか？また、いつその正規直交性を保証できるか？
• RQ4 一般化微分幾何学の枠組みから、AdS R対称性の等長変換を幾何学的にどのように導出できるか？
• RQ5 これらの背景のキリングスーパ algebra の正確な構造は何か？また、標準的な 𝒩 拡張 AdS スーパー代数とはどのように関係しているか？

主な発見

• 𝒩超対称性を保つ超対称AdS背景は、G_{D,𝒩} 構造群と単位スピンターを持つ弱い一般化ホロノミー構造によって分類され、これはミンコフスキー背景における特殊ホロノミーの概念を一般化するものである。
• 奇数次元Dでは、追加の仮定なしに、すべてのこのような背景がこの弱い一般化ホロノミー構造を持つ。偶数次元Dでは、キリングスピンォーの内積に関する技術的仮定の下で成立する。
• これらの背景のキリングスーパ algebra は、標準的な 𝒩 拡張 AdS スーパー代数と同型であることが確認され、その代数的構造が裏付けられた。
• AdS R対称性の等長変換は、スピンォー二乗形から構成された一般化キリングベクトルとして幾何学的に実現され、具体的な解の構成におけるその利用のための厳密な基礎が得られた。
• AdS5の場合、一般化ベクトル成分のトレースレス条件により、𝒩=4でR対称性代数がU(𝒩)からSU(4)に簡約され、対称性の強化が説明された。
• この解析により、コンパクトで滑らかなAdS解がこの分類に含まれることが確認されたが、フレームワークは純粋に局所的である。