[論文レビュー] Supersymmetric field theories and cohomology

Pokman Cheung|ArXiv.org|Nov 14, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、1次元および2次元の超対称場理論のカテゴリの分類空間を構成し、それらの分類空間がそれぞれ周期的KO理論および楕円コホモロジー（特にTate曲線）を実現することを示している。スーパーカテゴリおよび超幾何的構造を備えた bordism カテゴリを用いて、著者はStolz-Teichnerの(1|1)次元の超エウラー場理論（次数n）の分類空間がKO_nまたはK_nを表すことを証明した。一方、輪状の場理論はK_Tateスペクトルのn番目の空間をもたらす。

ABSTRACT

This is the Ph.D. dissertation of the author. The project has been motivated by the conjecture that the Hopkins-Miller tmf spectrum can be described in terms of `spaces' of conformal field theories. In this dissertation, spaces of field theories are constructed as classifying spaces of categories whose objects are certain types of field theories. If such a category has a symmetric monoidal structure and its components form a group, by work of Segal, its classifying space is an infinite loop space and defines a cohomology theory. This has been carried out for two classes of field theories: (i) For each integer n, there is a category SEFT_n whose objects are the Stolz-Teichner (1|1)-dimensional super Euclidean field theories of degree n. It is proved that the classifying space |SEFT_n| represents degree-n K or KO cohomology, depending on the coefficients of the field theories. (ii) For each integer n, there is a category AFT_n whose objects are a kind of (2|1)-dimensional field theories called `annular field theories,' defined using supergeometric versions of circles and annuli only. It is proved that the classifying space |AFT_n| represents the degree-n elliptic cohomology associated with the Tate curve. To the author's knowledge, this is the first time the definitions of low-dimensional supersymmetric field theories are given in full detail.

研究の動機と目的

• 超対称量子場理論の空間を用いた、コホモロジー理論の幾何学的・カテゴリカルな構成を提供すること。
• 特にtmfスペクトルに関連する楕円コホモロジー理論の幾何的解釈の欠如を補い、それらを自己随伴場理論と関連付けること。
• 超幾何学を用いて、(1|1)次元の超エウラー場理論および(2|1)次元の輪状場理論のカテゴリを定義し、厳密に構成すること。
• これらのカテゴリの分類空間が、既知のコホモロジー理論（KO理論および楕円コホモロジー）をもたらすことを証明すること。
• 文献において、低次元の超対称場理論の完全で詳細な定義を初めて提示すること。

提案手法

• スーパーカテゴリ間の関手を用いて、(1|1)次元の超エウラー場理論（次数n）の対称モノイドカテゴリSEFT_nを定義する。
• 円およびシリンダーの超幾何的版を用いたbordismカテゴリを構成し、輪状場理論の基盤を形成する。
• クライフ・モジュール構造およびテンソル積を備えた装飾付きbordismを用いて、'輪状場理論'のカテゴリAFT_nを定義する。
• 対称モノイドカテゴリの成分が群的である場合、その分類空間は無限ループ空間であるというSegalの定理を用いる。これによりコホモロジー理論が定義される。
• 分類空間|SEFT_n|が、場理論の係数に応じてKO理論またはK理論のn番目の空間とホモトピー同値であることを証明する。
• 分類空間|AFT_n|が、Tate曲線に関連する楕円スペクトルK_Tateのn番目の空間とホモトピー同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリの(1|1)次元の超エウラー場理論の分類空間が、周期的KO理論またはK理論を実現できるか？
• RQ2 超幾何的輪環を用いて定義された(2|1)次元の輪状場理論のカテゴリが、楕円コホモロジーを実現できるか？
• RQ3 自己随伴場理論の空間を用いて、tmfスペクトルを幾何学的・場理論的構成で得られるか？
• RQ4 スーパーカテゴリおよびbordismカテゴリを用いて、低次元における超対称場理論を厳密に定義できるか？
• RQ5 場理論カテゴリの代数的構造とそれによって得られるコホモロジー理論との間の明確な関係は何か？

主な発見

• 分類空間|SEFT_n|は、場理論の係数に応じてKO理論またはK理論のn番目の空間とホモトピー同値である。
• 分類空間|AFT_n|は、Tate曲線に関連する楕円スペクトルK_Tateのn番目の空間とホモトピー同値である。
• 本研究は、文献において(1|1)次元の超対称場理論の完全で詳細な定義を初めて提示した。
• カテゴリSEFT_nが対称モノイド的で、成分が群的であることが示され、Segalの無限ループ空間構成の条件を満たしている。
• 輪状場理論カテゴリAFT_nは、超幾何的bordismおよび装飾付きクライフ・モジュールを用いて構成され、楕円コホモロジーの幾何的実現をもたらした。
• 本研究の結果は、場理論カテゴリと既存のコホモロジー理論との直接的な関係を確立し、楕円コホモロジーおよびtmf関連スペクトルの幾何的解釈を提供した。