[論文レビュー] Supersymmetric partition functions on Riemann surfaces

Francesco Benini, Alberto Zaffaroni|BOA (University of Milano-Bicocca)|May 19, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 41被引用数 63

ひとこと要約

本稿では、種数 $g$ のリーマン面における部分的トポロジカルツイストを伴う $\backslashSigma_g \times T^n$ 上の 2次元 $\mathcal{N}=(2,2)$、3次元 $\mathcal{N}=2$、4次元 $\mathcal{N}=1$ ゲージ理論のスレーブスケル・パーティション関数のコンactで正確な公式を提示する。超対称局在化を用いて、ベーテ・アンザッツ方程式とジェフリー＝キルワン留数を含む普遍的な表現が導出され、$g=0$ の場合の既存結果を一般化し、双対性の新しいテストや AdS$_4$ 内のブラックホールエントロピーの計算を可能にする。

ABSTRACT

We present a compact formula for the supersymmetric partition function of 2d N=(2,2), 3d N=2 and 4d N=1 gauge theories on $Σ_g imes T^n$ with partial topological twist on $Σ_g$, where $Σ_g$ is a Riemann surface of arbitrary genus and $T^n$ is a torus with n=0,1,2, respectively. In 2d we also include certain local operator insertions, and in 3d we include Wilson line operator insertions along $S^1$. For genus g=1, the formula computes the Witten index. We present a few simple Abelian and non-Abelian examples, including new tests of non-perturbative dualities. We also show that the large N partition function of ABJM theory on $Σ_g imes S^1$ reproduces the Bekenstein-Hawking entropy of BPS black holes in AdS$_4$ whose horizon has $Σ_g$ topology.

研究の動機と目的

• 球面（$g=0$）からの超対称パーティション関数の一般化を、任意の種数のリーマン面 $\backslashSigma_g$ へ行う。
• 2次元、3次元、4次元 $\mathcal{N}$-超対称ゲージ理論に、トポロジカルツイストを施した場合のパーティション関数を計算する統一的枠組みを構築する。
• ファーミオンフラックス、ねじれチャーミカル演算子（2次元）、ウィルソン線（3次元）を組み込み、$g=1$ の場合のウィッテン指数を計算する。
• この形式を用いて、非摂動的双対性のテストおよび ABJM 理論におけるブラックホールエントロピーの計算に応用する。
• 高種数コンパクト化に適した、ベーテ・アンザッツ方程式とジェフリー＝キルワン留数を含む普遍的な公式を導出する。

提案手法

• 超対称局在化を適用して、経路積分を BPS 構造の有限次元積分に還元する。
• $\backslashSigma_g$ 上での部分的トポロジカルツイストを用い、半分の超対称性を保存する。これにより、R 対称性がスピン接続と結合する。
• 背景フラックスを導入する：$\backslashSigma_g$ 上の磁気フラックス $\backslashmathfrak{n}$ と、$T^n$ 沿いのファーミオン対称性のための複素生成関数 $v$。
• 局所演算子の挿入を含める：2次元ではねじれチャーミカル演算子、3次元ではウィルソン線を用い、パーティション関数を豊かにする。
• 普遍的な公式を導出する：$Z = \sum_{u=u_{(\alpha)}} Z_{\text{cl,1l}} \cdot \left( \det \frac{\partial B_a}{\partial u_b} \right)^{g-1}$、ここで $B_a$ は有効作用から導かれる。
• ベーテ・アンザッツ方程式 $e^{iB_a} = 1$ を解いて、鞍点の集合 $u_{(\alpha)}$ を特定し、バテルマンデターミナントがゼロでないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超対称パーティション関数を種数 $g=0$ から任意の種数 $g$ のリーマン面へどのように一般化できるか？
• RQ2 $\backslashSigma_g \times T^n$ 上の 2次元、3次元、4次元 $\mathcal{N}$-超対称ゲージ理論における超対称パーティション関数の普遍的構造は何か？
• RQ3 ファーミオンフラックスおよび生成関数は、パーティション関数およびそのモジュラー性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 $\backslashSigma_g \times S^1$ 上のパーティション関数は、AdS$_4$ 内の BPS ブラックホールのベケンシュタイン＝ホーキングエントロピーを再現できるか？
• RQ5 ねじれチャーミカル演算子（2次元）およびウィルソン線（3次元）を、局在化フレームワークに一貫して組み込む方法は何か？

主な発見

• パーティション関数 $\backslashSigma_g \times T^n$ 上では、ベーテ・アンザッツ方程式の解の集合による和として表され、行列式要因が $g-1$ 乗された重み付き形をとる。
• $g=1$ の場合、この公式はウィッテン指数を計算し、連続的変形に対して不変であることを確認する。
• ABJM 理論の $N$ が大きい場合の $\backslashSigma_g \times S^1$ 上のパーティション関数は、$\backslashSigma_g$ をホライズントポロジーとする BPS ブラックホールのベケンシュタイン＝ホーキングエントロピーを再現する。
• この形式により、3次元および4次元 $\mathcal{N}$-理論における非摂動的双対性の新しい正確なテストが可能になる。
• 2次元におけるねじれチャーミカル演算子および3次元におけるウィルソン線の組み込みにより、局在化フレームワークの適用範囲が拡張される。
• この導出は、ジェフリー＝キルワン留数法を高種数リーマン面へ一般化し、経路積分における追加のゼロモードを適切に扱う。