[論文レビュー] Supersymmetrizing 5d instanton operators

Diego Rodrı́guez-Gómez, Johannes Schmude|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、5次元に一般化された4次元のトポロジカルなねじれを用い、$ℝ^5 \setminus \{0\}$ 上の conformal Killing スピンル構造と $SU(2)_R$ バックグラウンドゲージ場を用いて、5次元インスタントンオペレーターの超対称版を構成する。主な結果は、$SU(2)_R$ bundle がバックグラウンドインスタントンとして機能するねじれた超対称ゲージ理論にモノポールを埋め込むことで、一部の超対称性を保存する超対称ヤンモノポール解の明示的構成である。

ABSTRACT

We construct a supersymmetric version of instanton operators in five-dimensional Yang-Mills theories. This is possible by considering a five-dimensional generalization of the familiar four-dimensional topologically twisted theory, where the gauge configurations corresponding to instanton operators are supersymmetric.

研究の動機と目的

• 4次元のトポロジカルなねじれを5次元に一般化することで、古典的には超対称でない5次元インスタントンオペレーターの超対称版を構成すること。
• 5次元ヤンミルズ理論におけるヤンモノポール配置が、非自明な $SU(2)_R$ バックグラウンドゲージ場と結合することで、一部の超対称性を保存できることを示すこと。
• 超対称ソリトンを局所オペレーターとして実現することにより、5次元超対称ゲージ理論における拡張されたグローバル対称性を研究するための枠組みを確立すること。
• $S^4$ および $ℝ^5 \setminus \{0\}$ 上の conformal Killing スピンルを用いた幾何学的・代数的構成により、超対称ヤンモノポールを明示的に構成すること。

提案手法

• 5次元の $ℝ^5$ 上で conformal $χ=2$ スーパーグラビティを用い、5次元ゲージ理論をバックグラウンド $SU(2)_R$ ゲージ場と結合させ、曲がった背景でも超対称性を実現する。
• 非自明な $SU(2)_R$ 接続を用いたトポロジカルなねじれを導入し、$S^4$ 上で超対称性スピンルが chiral である conformal Killing スピンルとなるようにし、超対称性を保存する。
• $S^4$ 上の $\xi$-座標を用いてゲージ場配置を構成し、$F = \pm \star_{S^4} F$ かつ $s = -1$ を満たすように解き、$f^\pm = (1 \mp \cos\theta)/2$ を用いて $A_i^\pm$ を定義する。
• 行列 $B_{ij}$ とベクトル $\vec{b}^\pm$ を用いてモノポール接続を定義し、$\partial_i b_j^\pm - \partial_j b_i^\pm + [b_i^\pm, b_j^\pm] = 0$ および $[b_i^\pm, b_j^\pm] = \pm \frac{4}{(1+\vec{\xi}^2)} \epsilon^{ijk} b_k^\pm$ を満たすようにする。
• $SU(2)$ の $N$ 次元表現に置き換えることで、モノポールを $SU(N)$ ゲージ群に埋め込み、インスタントン数が $\propto N(N^2-1)$ となるようにする。
• 超重力の剛体極限を用いて、$ℝ^5$ 上に超対称ゲージ理論を定義し、超対称性の変換が共変微分と $SU(2)_R$ 接続を含むようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元ヤンモノポール配置は、一般化されたトポロジカルなねじれによって超対称化可能か？
• RQ2 $SU(2)_R$ バックグラウンドゲージ場は、5次元におけるインスタントン的ソリトンの超対称性保存にどのような役割を果たすか？
• RQ3 $\mathbb{R}^5 \setminus \{0\}$ の共形構造、特に共形キリングベクトル $r\partial_r$ は、超対称解の構成をどのように可能にするか？
• RQ4 超対称ヤンモノポールは、5次元超対称ゲージ理論における拡張されたグローバル対称性を調べるのに利用可能か？
• RQ5 5次元における超対称インスタントンオペレーターの明示的な代数的・幾何学的構造は何か？

主な発見

• 本稿では、非自明な $SU(2)_R$ バックグラウンドゲージ場を導入することで、5次元ヤンモノポールの超対称版を構成し、これがバックグラウンドインスタントンとして機能し、共形キリングスピンルの存在を可能にする。
• 超対称性は、超対称性スピンルが共形キリングベクトル $r\partial_r$ に関して chiral であるため保存される。このベクトルはキリングでないが共形キリングであるため、共形 $χ=2$ スーパーグラビティの使用が不可避である。
• ゲージ場配置は $A_i^\pm = f^\pm(\theta) b_i^\pm$ として明示的に解かれ、$f^\pm = (1 \mp \cos\theta)/2$ を用いることで、$S^4$ の北半球および南半球にモノポールが得られる。
• $SU(N)$ に埋め込んだ場合のインスタントン数は $I = \frac{1}{8\pi^2} \text{Tr} \int_{S^4} F \wedge F = N(N^2 - 1)$ となり、解の位相的電荷が確認される。
• 本構成では $S^4$ の $\xi$-座標パラメータ表示を用い、行列 $B_{ij}$ とベクトル $\vec{b}^\pm$ を定義し、ゲージ場の自己双対性および平坦性条件を満たすようにする。
• 理論は $ℝ^5 \setminus \{0\}$ 上に定義され、$ℝ \times S^4$ 上の理論の共形変換と等価である。このとき $SU(2)_R$ バンドルは非自明であり、位相的構造に寄与する。