[論文レビュー] Supersymmetry and the Modular Double

Ivan Chi Ho Ip, Anton M. Zeitlin|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

Advanced Topics in Algebra被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、超対称的量子力学を用いて、量子スーパ algebra $\mathcal{U}_q(\mathfrak{osp}(1|2))$ に対するモジュラルドゥーブルの超対称的類似を構成し、$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ からのモジュラルドゥーブルの枠組みをスーパ algebra へと拡張する。主な結果は、量子ディログリチム関数を用いてこのスーパ algebra に対する $R$-行列を明示的に構成することであり、これは $\mathcal{N}=1$ SUSY Liouville 理論における融合規則を記述するために不可欠である。

ABSTRACT

A counterpart of the modular double for quantum superalgebra $\cU_q(\osp(1|2))$ is constructed by means of supersymmetric quantum mechanics. We also construct the $R$-matrix operator acting in the corresponding representations, which is expressed via quantum dilogarithm.

研究の動機と目的

• 以前 $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}))$ に対して定義されたモジュラルドゥーブルの概念を、量子スーパ algebra $\mathcal{U}_q(\mathfrak{osp}(1|2))$ へと拡張すること。
• 超対称的量子力学を用いて、$\mathcal{U}_q(\mathfrak{osp}(1|2))$ のモジュラルドゥーブルの $L^2(\mathbb{R})$ 上の表現を確立すること。
• 量子ディログリチム関数を用いて、$\mathcal{U}_q(\mathfrak{osp}(1|2))$ の表現に作用する $R$-行列作用素を構成すること。
• $\mathcal{N}=1$ SUSY Liouville 細胞理論における融合規則を記述できる可能性のある、表現のテンソルカテゴリの土台を築くこと。

提案手法

• ヒルベルト空間の生成子 $U = e^{2\pi b x}$, $V = e^{2\pi b p}$ を用いた $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}))$ の自由場実現を、超対称的量子力学を用いてスーパ algebra $\mathcal{U}_q(\mathfrak{osp}(1|2))$ に適応する。
• 双対生成子 $\tilde{U} = U^{1/b^2}$, $\tilde{V} = V^{1/b^2}$ を導入し、$\tilde{q} = e^{\pi i b^{-2}}$ を用いて第二の量子代数 $\mathcal{U}_{\tilde{q}}(\mathfrak{osp}(1|2))$ を定義し、モジュラルドゥーブルを形成する。
• 量子ディログリチム関数 $\Phi_b$ を用いて $R$-行列を構成し、これによりバーディング関係を満たし、表現のテンソル積をインターウェーブする。
• 作用素 $g_{b_*}$ を用いて、$e \otimes K \otimes f$ および $1 \otimes e \otimes f$ を含む指数関数の積として $R$-行列を定義する。
• 適切な $\Phi$-自己同型を用いて $R$-行列がコプロダクト構造と整合することを確立し、ブレード群関係を保証する。
• $R$-行列が有界であるがユニタリでないことを示し、その逆行列は関連する非有界作用素 $\tilde{R}$ で与えられ、$R^* \tilde{R} = 1$ を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子スーパ algebra $\mathcal{U}_q(\mathfrak{osp}(1|2))$ に対して、$\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}))$ のモジュラルドゥーブル構成を一般化できるか。
• RQ2 $\mathcal{U}_q(\mathfrak{osp}(1|2))$ の $R$-行列を、量子ディログリチム関数を用いて明示的に構成できるか。
• RQ3 $\mathcal{U}_q(\mathfrak{osp}(1|2))$ のモジュラルドゥーブルの表現空間は、$\mathcal{U}_{q_*\tilde{q}_*}(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}))$ に同型な偶数および奇数部分表現に分解可能か。
• RQ4 これらの表現のテンソルカテゴリを構成できるか。また、その $3j$-記号は $\mathcal{N}=1$ SUSY Liouville 理論における融合係数と一致するか。

主な発見

• モジュラルドゥーブルは、超対称的量子力学を用いて $L^2(\mathbb{R})$ 上の表現として構成され、$\mathcal{U}_q(\mathfrak{osp}(1|2))$ および $\mathcal{U}_{\tilde{q}}(\mathfrak{osp}(1|2))$ の生成子が $U$, $V$ 及びその双対 $\tilde{U}$, $\tilde{V}$ として実現される。
• $R$-行列は $R = g_{b_*}(i\hat{e} \otimes \mathcal{K} \otimes \hat{f} + i \otimes \hat{e} \otimes \hat{f})$ として明示的に構成され、量子ディログリチム関数 $\Phi_b$ を用いて表現される。
• $R$-行列はヤン・バクスター方程式を満たし、スーパ algebra のコプロダクトをインターウェーブする。その逆行列は非有界作用素 $\tilde{R}$ で与えられ、$R^* \tilde{R} = 1$ を満たす。
• 表現空間 $P^s_z$ は自然に偶数部分表現 $P^{(e)}_z$ と奇数部分表現 $P^{(o)}_z$ に分解され、古典的 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ の分解と類似する。
• $R$-行列は有界であるがユニタリではない。その構成は $\Phi$-自己同型を用いてホープ代数構造と整合性を保つために不可欠である。
• この枠組みは、$P^s_z$ の表現のテンソルカテゴリが連続的であり、かつ $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}))$ のモジュラルドゥーブルのそれと同型である可能性を示唆しており、$\mathcal{N}=1$ SUSY Liouville 理論における融合規則への応用が期待される。