[論文レビュー] Supertropical algebra

Zur Izhakian, Louis Rowen|ArXiv.org|Jun 6, 2008

Polynomial and algebraic computation参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、超トロピカル代数を導入し、トロピカル幾何学のための構造的代数的枠組みを提供する。ゴースト要素を用いてトロピカル多項式とその根をモデル化する。超トロピカル半環上のザリスキ型代数幾何学を確立し、超トロピカル・ノルンシュテレントサツを証明するとともに、1変数では多項式の因数分解が一意的であるが、複数変数では幾何的現象のため失敗することを示している。

ABSTRACT

We develop the algebraic polynomial theory for "supertropical algebra," as initiated earlier over the real numbers by the first author. The main innovation there was the introduction of "ghost elements," which also play the key role in our structure theory. Here, we work somewhat more generally over an ordered monoid, and develop a theory which contains the analogs of several basic theorems of classical commutative algebra. This structure enables one to develop a Zariski-type algebraic geometric approach to tropical geometry, viewing tropical varieties as sets of roots of (supertropical) polynomials, leading to an analog of the Hilbert Nullstellensatz. Particular attention is paid to factorization of polynomials. In one indeterminate, any polynomial can be factored into linear and quadratic factors, and unique factorization holds in a certain sense. On the other hand, the failure of unique factorization in several indeterminates is explained by geometric phenomena described in the paper.

研究の動機と目的

• 超トロピカル半環を用いて、トロピカル幾何学の厳密な代数的基盤を構築すること。
• max-plus代数におけるトロピカル多項式の純粋な代数的枠組みの欠如に応えること。
• 多項式の根とイデアルのためのヒルベルトのノルンシュテレントサツの超トロピカル版を確立すること。
• 特に複数変数における一意的因数分解の失敗を含め、超トロピカル多項式環における因数分解構造を分析すること。
• 実数的およびゴースト閉イデアルの構造を、実数的およびゴースト要素を用いて特徴付けること。

提案手法

• 順序付きモノイド上に超トロピカル半環を定義し、実数的およびゴースト要素を用いてトロピカル算術をモデル化する。
• ゴースト閉イデアルとラディカルイデアルを定義し、トロピカル幾何的対象を多項式の零点集合として捉える。
• 超トロピカル・ノルンシュテレントサツを適用し、イデアルとその根集合との関係を確立し、古典的代数幾何学を一般化する。
• 超トロピカル半体上で多項式を一次および既約二次因子に分解することにより因数分解を分析する。
• 実数的部の根集合（区間）に対する幾何的推論を用いて、イデアルの生成およびラディカル構造を特定する。
• 特に一次および二次の場合に、ゴースト値の直接計算と比較を用いて、イデアルの包含関係および生成を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋な代数的枠組みを提供する超トロピカル代数的幾何学は、トロピカル多様体に対して構築可能であろうか？
• RQ2 特に複数変数において、超トロピカル多項式環における一意的因数分解はどのように振る舞うであろうか？
• RQ3 超トロピカル多項式環における素イデアルおよびゴースト閉イデアルの構造はいかなるものであろうか？
• RQ4 ゴースト要素およびゴースト値は、トロピカル多項式の根および因数分解とどのように関係するであろうか？
• RQ5 超トロピカル・ノルンシュテレントサツは、トロピカル設定において、古典的代数幾何学をどの程度回復できるであろうか？

主な発見

• 1変数では、すべての超トロピカル多項式が一次および既約二次因子に一意的に因数分解され、一意的因数分解が明確に定義された意味で成立する。
• 複数変数では、幾何的現象（特に二次因子の根集合の重なり）のため、一意的因数分解が失敗する。
• ゴースト閉イデアルのラディカルは、生成子の実数的根集合の共通部分として特定され、特に二次多項式において顕著である。
• 1変数における任意の有限生成ゴースト閉素イデアルは、高々2つの一次多項式によって生成され、具体的には $\lambda + \alpha$ および $\lambda + \beta$、または $\lambda^\nu + \beta$ の形で表され、$\alpha^\nu < \beta^\nu$ を満たす。
• 超トロピカル・ノルンシュテレントサツが成立する：イデアルのラディカルは、そのイデアルの共通根集合に消失する多項式の集合に正確に一致する。
• 無限個の素イデアルの鎖が存在し、1変数であっても超トロピカル多項式環のクルール次元は無限大であることが示された。