[論文レビュー] Supervised quantum machine learning models are kernel methods

Maria Schuld|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用数 171

ひとこと要約

本論文は、有监督の量子モデルを古典的なカーネル法として定式化できること、量子カーネルがデータエンコード密度行列の内積で定義されること、そしてカーネルベースの学習が特定の条件下で変分法より優れていえると主張している。

ABSTRACT

With near-term quantum devices available and the race for fault-tolerant quantum computers in full swing, researchers became interested in the question of what happens if we replace a supervised machine learning model with a quantum circuit. While such "quantum models" are sometimes called "quantum neural networks", it has been repeatedly noted that their mathematical structure is actually much more closely related to kernel methods: they analyse data in high-dimensional Hilbert spaces to which we only have access through inner products revealed by measurements. This technical manuscript summarises and extends the idea of systematically rephrasing supervised quantum models as a kernel method. With this, a lot of near-term and fault-tolerant quantum models can be replaced by a general support vector machine whose kernel computes distances between data-encoding quantum states. Kernel-based training is then guaranteed to find better or equally good quantum models than variational circuit training. Overall, the kernel perspective of quantum machine learning tells us that the way that data is encoded into quantum states is the main ingredient that can potentially set quantum models apart from classical machine learning models.

研究の動機と目的

• 量子機械学習とカーネル理論の橋渡しを明確にする。
• 密度行列によって定義される高次元特徴空間内で量子モデルが線形であることを示す。
• 訓練が再生核ヒルベルト空間(RKHS)におけるカーネルベースの最適化に還元されることを示す。
• モデルの表現力と学習挙動を決定する上でデータエンコーディングの重要性を強調する。

提案手法

• データエンコーディング特徴写像を、ヒルベルト-シュmidt内積を持つ密度行列表現空間の写像 x -> ρ(x)として定義する。
• 量子カーネル κ(x, x') = tr[ρ(x) ρ(x')] = |⟨φ(x')|φ(x)⟩|^2 を定義し、それが半正定値であることを示す。
• 量子カーネルによって誘導されるRKHSにおける量子モデルと線形モデルの等価性を示す。
• 表現定理を適用して最適モデルを f_opt(x) = ∑ α_m tr[ρ(x^m) ρ(x)]として表現する。
• カーネルベースの訓練は、訓練データによって張られた部分空間に測定があるモデルを生み出すことを示し、凸性の利点を論じる。
• カーネルベースの訓練と変分回路訓練を比較し、どちらが適している場合があるかを説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子モデルは量子カーネルを介して古典的なカーネル法として再定式化できるか。
• RQ2 データの量子状態へのエンコーディング（特徴写像）は、カーネルとモデルの表現力をどのように決定するか。
• RQ3 量子モデルのカーネルベース訓練と変分回路訓練の利点とトレードオフは何か。
• RQ4 表現定理は最適な量子測定の形式をどのように制約するか。
• RQ5 量子カーネルが古典カーネルより計算資源や表現力の利点を提供する条件は何か。

主な発見

• 量子モデルは密度行列の特徴空間における線形モデルとして表現でき、予測性能は量子カーネル κ(x, x') によって支配される。
• 量子カーネルに対応する RKHS は、量子モデルの空間と完全に同じ関数を含み、カーネルベース解析を可能にする。
• 典型的なコスト関数に対する最適な量子測定は訓練データのカーネル展開として表現でき、必要な自由度は M 個の係数 α_m のみである。
• カーネルベース訓練は最適なモデルの探索を M 次元の最適化問題に還元し、一般的な損失関数に対して凸である。一方で非凸な変分訓練と対比される。
• 量子カーネルを用いた訓練は、ペアワイズカーネル評価が必要になるというコストを伴うが、少なくとも変分訓練より良いまたは同等の極小値を保証できる。
• データエンコーディング戦略は表現力と潜在的な量子利点を大きく決定する。回路設計だけでなくエンコーディングの中心的役割を強調する。