[論文レビュー] Combinatorial Bounds on Nonnegative Rank and Extended Formulations

Samuel Fiorini, Volker Kaibel+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、スラック行列の非ゼロパターンを被覆するのに必要な長方形の最小数を分析することにより、多面体の拡張複雑度に対する組合せ的下界を確立する。立方体、バーキホフ多面体、Ω(d²)個の頂点をもつ近隣d次元多面体は、いずれもサイズΩ(d²)の拡張形式を必要とする。これは、長方形被覆が対称的かつ高次元多面体において大規模な拡張複雑度を証明する強力だが限界のある手法であることを示している。

ABSTRACT

An extended formulation of a polytope P is a polytope Q which can be projected onto P. Extended formulations of small size (i.e., number of facets) are of interest, as they allow to model corresponding optimization problems as linear programs of small sizes. The main known lower bounds on the minimum sizes of extended formulations for fixed polytope P (Yannakakis 1991) are closely related to the concept of nondeterministic communication complexity. We study the relative power and limitations of the bounds on several examples.

研究の動機と目的

• 長方形被覆の境界と、既知の拡張複雑度に関する他の下界との関係を明確化すること。
• 長方形被覆アプローチが、拡張複雑度に関する下界を証明するためのツールとしての強みと限界を調査すること。
• 特定の多面体に対して、長方形被覆数が次元dとlog nに関して超多項式的になるかどうかを特定すること。
• 特に完全マッチング多面体を含む特定の多面体族に対して、長方形被覆境界のタイトネスを検討すること。
• 顔ラティス埋め込みに基づく代替の境界が、長方形被覆法を上回る可能性があるかどうかを調査すること。

提案手法

• 多面体Pのスラック行列Sに対してxc(P) = rank₊(S)というヤナカキスの特徴づけを用い、スラック行列の非負ランクを拡張複雑度の代理として分析すること。
• 長方形被覆数を非負ランクの下界として用いる。ここで長方形とは、スラック行列のサポート内にある組合せ的長方形を指す。
• 幾何的およびグラフ理論的解釈を用い、フェイリングセット境界を特定のグラフのクリーク数に関連付けること。
• 極値組合せ論を用いて長方形被覆の下界を証明し、頂点集合とその被覆に基づく数え上げ的議論を含む。
• 近隣d次元多面体でΩ(d²)個の頂点をもつものに対して、長方形被覆数がΩ(d²)であることを確立し、それにより拡張複雑度がΩ(d²)であることを示すこと。
• 立方体とバーキホフ多面体が、任意の拡張形式において、そのファセット数以上に不等式を必要とすることを、組合せ的被覆論を用いて示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての既知の例ではdとlog nに関して多項式的であるが、特定の多面体に対して長方形被覆数がdとlog nに関して超多項式的になることはあり得るか？
• RQ2 長方形被覆境界は常に非負ランクの多項式的上界に抑えられるのか、それとも著しく大きい可能性があるか？
• RQ3 完全マッチング多面体に対して、長方形被覆数はO(n⁴)のままであるのか、それともこの自明な上界を下回る可能性があるか？
• RQ4 長方形被覆数を用いて、dとlog nの両方に関して非線形の下界をもつ多面体族の拡張複雑度下界を証明できるか？
• RQ5 長方形被覆数がdとlog nに関して超多項式的である多面体が存在するか。これは、この境界と他の複雑度測度との間にギャップがある可能性を示唆する。

主な発見

• 立方体とバーキホフ多面体は、それらのファセット数に等しい以上に大きなサイズの拡張形式を必要とし、より小さい拡張形式は存在しない。
• Ω(d²)個の頂点をもつd次元近隣多面体に対して、拡張複雑度はΩ(d²)である。これは、このような多面体が二次未満のサイズの拡張形式では表現できないことを示している。
• n = Θ(k²)のとき、長方形被覆数はΘ(n)である。これは、このような多面体に対して、dとlog nの両方に関して非線形の境界が得られることを示している。ここでdは次元、nは頂点数である。
• 非負ランクに対するフェイリングセット境界は、スラック行列から構成された特定のグラフのクリーク数に等しく、新しい組合せ的解釈を提供する。
• R²内の不規則なn角形に対して、長方形被覆数はO(log n)であるが、拡張複雑度はΩ(√n)である。これは、長方形被覆境界が一部のケースでは著しくタイトでない可能性を示している。
• 長方形被覆数がdとlog nに関して超多項式的になるかどうかは、本論文では未解決のまま残されているが、任意の行列Aに対してsupportがMであるとき、(rank(A)+1)²を超えないことが知られている。