[論文レビュー] Supports, regularity, and $\boxplus$-infinite divisibility for measures of the form $(μ^{\boxplus p})^{\uplus q}$

Hao-Wei Huang|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2012

Random Matrices and Applications参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、自由畳み込みとブール畳み込みをそれぞれ表す記号 $\boxplus$ と $\uplus$ を用いて表される測度 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ の台構造と正規性を調査する。自由畳み込みの冪に対する劣化関数を用いることで、このような測度の絶対連続部の連結成分の数が $p$ の関数として減少することを確立し、密度の明示的公式および原子の条件を提示する。特に、$((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ と $(\mu^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ が同じ数の成分を持つことを示している。

ABSTRACT

Let $\mathcal{M}$ be the set of Borel probability measures on $\mathbb{R}$. We denote by $μ^{\mathrm{ac}}$ the absolutely continuous part of $μ\in\mathcal{M}$. The purpose of this paper is to investigate the supports and regularity for measures of the form $(μ^{\boxplus p})^{\uplus q}$, $μ\in\mathcal{M}$, where $\boxplus$ and $\uplus$ are the operations of free additive and Boolean convolution on $\mathcal{M}$, respectively, and $p\geq1$, $q>0$. We show that for any $q$ the supports of $((μ^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ and $(μ^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ contain the same number of components and this number is a decreasing function of $p$. Explicit formulas for the densities of $((μ^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ and criteria for determining the atoms of $(μ^{\boxplus p})^{\uplus q}$ are given. Based on the subordination functions of free convolution powers, we give another point of view to analyze the set of $\boxplus$-infinitely divisible measures and provide explicit expressions for their Voiculescu transforms in terms of free and Boolean convolutions.

研究の動機と目的

• 測度 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ の台および正規性の性質を、$\mu \in \mathcal{M}$、$p > 1$、$q > 0$ の条件下で分析すること。
• このような測度の絶対連続部の台における連結成分の数が $p$ に依存する仕組みを特定すること。
• 絶対連続部の密度の明示的公式および $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ における原子の条件を導出すること。
• 劣化関数を用いて $\boxplus$-無限可除測度を特徴付け、そのボイツェビツュク変換を自由畳み込みとブール畳み込みの観点から表現すること。

提案手法

• 自由畳み込みの冪 $\mu^{\boxplus p}$ の構造を分析するために、自由畳み込みの冪に付随する劣化関数を用いる。
• ブール畳み込みと自由畳み込みを関連付けるために、ベルコビツィ・パタ双対 $\mathbb{B}_t$ 及びその一般化 $\mathbb{B}_{p,q}(\mu) = (\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ を適用する。
• ボイツェビツュク変換とその自由畳み込みにおける加法性を用い、$\mathbb{C}^+$ の切断錐上で $\phi_{\mu^{\boxplus p}} = p\phi_\mu$ の関数方程式を導出する。
• 関数 $f_p(x)$ 及びその劣化関数 $\psi_p$ との関係を用い、$\psi_p(V_p^+)$ 上で $\frac{f_p(x)}{\pi(x^2 + f_p^2(x))}$ によって絶対連続部の密度を記述する。
• ジュリア＝カラテオドリ理論を用いて、特定の点におけるコーシー変換 $F_\mu'$ の微分を用いて原子を特徴付ける。
• $f_p(x)$ の振る舞いおよび $\psi_p$ の像の解析を通じて、$(\mathbb{B}_{p,q}(\mu))^{\mathrm{ac}}$ の台における成分数が $p$ の減少関数であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ の絶対連続部の台における連結成分の数は $p$ にどのように依存するか？
• RQ2 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ の絶対連続部の密度を支配する明示的公式は何か？
• RQ3 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ における原子の存在および位置を決定する条件は何か？
• RQ4 $\boxplus$-無限可除測度のボイツェビツュク変換は、自由畳み込みとブール畳み込みを用いてどのように表現できるか？
• RQ5 $((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ が $(\mu^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ と同じ数の成分に支持されるのはどのような条件下か？

主な発見

• $p > 1$ のとき、$(\mu^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ の台における連結成分の数は $p$ の減少関数である。
• 任意の $q > 0$ に対して、$(\mu^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ と $((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ は同じ数の成分を有する。
• $\psi_p(V_p^+)$ 上で $((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ の密度は $\frac{f_p(x)}{\pi(x^2 + f_p^2(x))}$ で与えられ、ここで $f_p$ は劣化関数から導かれる。
• $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ の原子は、点 $\alpha$ において $F_{\mu^{\boxplus p}}(\alpha) = \alpha/(1-p)$ かつ $F_{\mu^{\boxplus p}}'(\alpha) \in (1, \infty)$ を満たす場合にのみ存在する。
• $q = 1/p^*$ のとき、測度 $(\mathbb{B}_{p,1/p^*}(\mu))^{\mathrm{ac}}$ は $\psi_p(V_p^+$ 上で正則であり、$\psi_p(V_p^+)$ の閉包に台を持つ。
• 任意の $t > 0$ に対して、$\mathrm{Ind}(\mu_t) = t$ を満たす測度 $\mu_t$ が存在し、その台は無限個の成分を含む。