[論文レビュー] Suppression of Quasiperiodicity in Circle Maps with Quenched Disorder

David Müller-Bender, Johann Luca Kastner+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2022

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 76被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、熱力学的極限において、円周写像におけるクエンチド不純物が準周期的ダイナミクスを抑制することを示しており、可逆的パラメータ空間全体でほとんど確実にモードロックが生じる。滑らかなランダム位置増分を用いた空間的に相関する不純物を導入することで、系サイズ L → ∞ の極限において準周期的実現の割合は 0 に収束し、アーノルドの舌が支配的モードロック行動に置き換わる。

ABSTRACT

We show that introducing quenched disorder into a circle map leads to the suppression of quasiperiodic behavior in the limit of large system sizes. Specifically, for most parameters the fraction of disorder realizations showing quasiperiodicity decreases with the system size and eventually vanishes in the limit of infinite size, where almost all realizations show mode-locking. Consequently, in this limit, and in strong contrast to standard circle maps, almost the whole parameter space corresponding to invertible dynamics consists of Arnold tongues.

研究の動機と目的

• クエンチド空間的不純物が円周写像のダイナミカルな挙動に与える影響、特に準周期性の抑制を調査すること。
• 不純物が円周写像の長期的統計的性質（たとえば、ドリフト速度やリャプノフ指数）に与える影響を特定すること。
• 不純物平均量の有限サイズスケーリングおよび熱力学的極限における収束を分析すること。
• クエンチド不純物下で、無限大系サイズ極限においても準周期的ダイナミクスが持続するか、それとも抑制されるかを明らかにすること。
• L → ∞ の極限において、可逆的領域のすべてのパラメータで、ほとんどすべての不純物実現がモードロックに至ることを確立すること。

提案手法

• 周期的でない位置増分 τ(x) を、独立同分布の ±1 の記号を持つ滑らかな二値信号 χω(x) から導出されるクエンチドランダム関数 τω(x) に置き換えることで、不純物のある円周写像を構築する。
• 平均 0、分散 ς² = 0.04 のガウスカーネル Gς を用いた畳み込みにより τω(x) を定義し、0 ≤ A ≤ 1 の範囲で写像 Rω(x) = x + τω(x) の単調性を保証する。
• 周期的境界条件を用いて、周囲 L の円周上に写像を定義し、動的挙動は xn+1 = [xn + τω(xn)] mod L に従う。
• L → ∞ の極限における収束を評価するため、不純物平均ドリフト速度およびリャプノフ指数の有限サイズスケーリング解析を実施する。
• 数値シミュレーションを用いて、系サイズ L の関数として、準周期的ダイナミクスを示す不純物実現の割合を計算する。
• τω(x) の自己共分散関数を用いて不純物の空間相関長 l を定義し、結果が l と L の相対的関係にどのように依存するかを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クエンチド不純物は、熱力学的極限において円周写像の準周期的ダイナミクスを抑制するか？
• RQ2 準周期的ダイナミクスを示す不純物実現の割合は、系サイズ L に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 不純物平均ドリフト速度およびリャプノフ指数は、L → ∞ の極限で適切に定義され、収束するか？
• RQ4 不純物の空間的相関長が、準周期性の抑制に果たす役割は何か？特に、系サイズ L に対する相対的関係は？
• RQ5 クエンチド不純物下で、円周写像の可逆的パラメータ空間全体が、無限大サイズ極限においてアーノルドの舌に支配されるか？

主な発見

• 準周期的ダイナミクスを示す不純物実現の割合は、系サイズ L の増加に伴い減少し、L → ∞ の極限で 0 に収束する。
• 無限大サイズ極限において、ほとんど確実にすべての不純物実現がモードロックに至るため、可逆的パラメータ空間全体がアーノルドの舌に支配される。
• 不純物平均ドリフト速度およびリャプノフ指数は、L → ∞ の極限で一意で適切に定義された極限値に収束し、クエンチド不純物集合におけるエルゴディック的挙動を示唆する。
• 準周期性の抑制は、位置増分 τω(x) が不純物の空間相関長を超えたときに発生する。これは、観察された挙動のための必要条件である。
• ほとんどすべてのパラメータ値において、無限大サイズ極限でリャプノフ指数は負のまま保たれ、与えられた条件下でモードロックダイナミクスが確認される。
• 系サイズ L を無限大に送る際、各 L サイズのユニットセル内で不純物実現を固定することで、適切に定義されたクエンチド不純物極限が保証されるため、結果はこの条件下で成り立つ。