[論文レビュー] Sur l'homologie des groupes d'automorphismes des groupes libres \\`a coefficients polynomiaux

Aurélien Djament, Christine Vespa|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、多項式共変ファンクターによる係数が与えられた場合、自由群の自己同型群の安定ホモロジーが消えることを確立する。反変多項式ファンクターでアーベル化を経由するものについては、安定第一ホモロジー群がそのファンクターと恒等ファンクターのテンソル積と同型であると計算し、この場合には非自明な安定ホモロジーが存在することが明らかになる。

ABSTRACT

We study in this article stable homology of automorphism groups of free groups with coefficients twisted by a poynomial functor. We show that this homology is zero for a reduced covariant polynomial functor. For a reduced contravariant functor, we compute the first homology group, which is in general non zero. Our methods relie on the use of functor categories. ---On \\'etudie dans cet article l'homologie stable des groupes d'automorphismes des groupes libres \\`a coefficients tordus par un foncteur polynomial. On montre que cette homologie est nulle pour un foncteur polynomial covariant r\\'eduit. Dans le cas d'un foncteur polynomial r\\'eduit contravariant, on calcule le premier groupe d'homologie, qui n'est g\\'en\\'eralement pas nul. Nos m\\'ethodes reposent sur l'utilisation de cat\\'egories de foncteurs.

研究の動機と目的

• 自由群の自己同型群の安定ホモロジーを、多項式関手によって与えられるねじれ係数付きで特定すること。
• 従来、位相的手法によって得られていた安定ホモロジーに関する既知の結果を、より広範な代数的枠組みへと拡張すること。
• アーベル化を経由する反変多項式関手に対して、安定第一ホモロジー群を計算すること。
• Aut(F_n)の安定ホモロジーの文脈において、共変関手と反変関手の違いを明確にすること。
• 従来、位相的・幾何的技法によって確立された結果を、純粋に代数的手段で再確認すること。

提案手法

• 有限生成自由群の圏における多項式関手の使用、特に共変および反変関手に注目する。
• 特に n → ∞ の極限において安定ホモロジーを分析するための余極限技術の適用。
• 還元された多項式共変関手に対する安定ホモロジーの消滅を証明する代数的手法の採用。
• Aut(F_n)がF_nおよびその商群GL_n(Z)に作用する自然な作用を用いてねじれ係数を定義する。
• 関手的ホモロジー代数を用いて、安定第一ホモロジー群とF ⊗_ab Idとの同型を確立する。
• ファンクターのホモロジーおよびコホモロジーに関する既知の結果、特に線型群に関するBetleyの研究およびGaloisの対称群に関する定理との関連を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 還元された多項式共変関手Fによる係数が与えられた場合、Aut(F_n)の安定ホモロジーは消えるか？
• RQ2 アーベル化を経由する反変多項式関手から生じる係数の場合、Aut(F_n)の安定第一ホモロジーはどのように振る舞うか？
• RQ3 HatcherとWahlのアーベル化係数に関する結果は、純粋に代数的手段で再現可能か？
• RQ4 反変多項式係数に対する安定第一ホモロジー群の正確な構造は何か？
• RQ5 共変関手と反変関手の両者が、Aut(F_n)の安定ホモロジーにおいてどのように異なる振る舞いを示すか？

主な発見

• 還元された多項式共変関手Fによる係数付きで、Aut(F_n)の安定ホモロジーは自明である：colim_n H_*(Aut(F_n); F(F_n)) = 0。
• アーベル化関手（1次多項式）の場合、この結果はHatcherとWahlの定理を再現するが、今や代数的手段によって証明されている。
• アーベル化を経由する反変多項式関手Fに対して、安定第一ホモロジー群はF ⊗_ab Idと同型である。
• この安定第一ホモロジー群は一般に非自明であり、共変関手の消滅結果とは対照的である。
• この文脈において、共変関手と反変関手の違いは重要であり、線型群とは異なり、自己同型群には双対性の対称性が欠如しているためである。
• この結果は、線型群の安定ホモロジーに多項式係数を適用したBetleyの定理を、自由群自己同型の文脈へ一般化するものである。