[論文レビュー] Sur le nombre de points algebriques ou une fonction analytique transcendante prend des valeurs algebriques

Andrea Surroca|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2002

Meromorphic and Entire Functions参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、解析的超越関数が代数的値をとる代数的点の分布を調査し、次数と高さが有界であるような点の数を数えることに焦点を当てる。任意の D ≥ 1 に対して、単位円板内でのそのような点の数が、任意の φ に対して φ(x)/x → 0 となるような関数 φ に対して、exp(D(D+1)φ(N)) よりも速く増加するような無限個の N が存在することを示し、また一般の正則性条件下で、同じ数え上げに対して多項式的上界を確立する。

ABSTRACT

We study the set of algebraic numbers of bounded height and bounded degree where an analytic transcendental function takes algebraic values.

研究の動機と目的

• 超越的正則関数が代数的値をとる代数的点の構造と密度を理解すること。
• 次数 D と絶対対数的高さ N で制限された場合のそのような点の濃度を分析すること。
• すべての代数的 α ∈ ℂ に対して f(α) ∈ ℚ[α] となる整関数 f を構成すること。
• 単位円板内でのそのような点の数に対する、鋭い漸近的下界と上界を確立すること。
• すべての大きな N に対して一様に改善できないこと、すなわち下界に「無限個の N」が必要であることを示すこと。

提案手法

• 代数的数を次数 d(α) と絶対対数的高さ h(α) でパrameter化し、Mahler の測度 M(α) を用いて h(α) = (1/d(α)) log M(α) と定義する。
• ΣD,N(f,r) を、ℚ̄ ∩ D̄(0,r) に属する α で、[ℚ(α,f(α)):ℚ] ≤ D、h(α) ≤ N、および h(f(α)) ≤ N を満たすものとする。
• 有理数係数の多項式 Pk の級数を用いて関数 f を構成し、Galois 不変性により f(α) ∈ ℚ[α] となるように保証する。
• Siegel の補題を用いて、各変数の次数が有界な非ゼロ整数係数多項式 P ∈ ℤ[X,Y] を、S_{D,N} 上で消えるように得る。
• Schwarz の補題とLiouvilleの不等式を用いて |F(α)| = |P(α,f(α))| を評価し、背理法により F(α) = 0 が S_{D,N+1} の α に対して成り立つように導く。
• ΣD,N(f,r) に多すぎる点が存在すると仮定することで矛盾を導き、F が無限集合上で消えることになり、孤立零点定理に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての代数的 α に対して f(α) ∈ ℚ[α] となる整関数 f を構成できるか？
• RQ2 次数と高さが有界な代数的点 α の数が、f(α) が代数的であるような場合に、どのくらい速く増加するか？
• RQ3 D と N の関数として、そのような点の数に対する普遍的な上界は存在するか？ また、すべての大きな N に対して一様に改善可能か？
• RQ4 N が増加する際の |ΣD,N(f,r)| の鋭い漸近的挙動は何か？ また、関数 f に依存するか？
• RQ5 下界の構成を無限個の N に対して成立させられるか？ なぜすべての大きな N に拡張できないのか？

主な発見

• すべての α ∈ ℚ̄ に対して f(α) ∈ ℚ[α] となる整関数 f が存在する。
• 任意の正の関数 φ で φ(x)/x → 0 (x → ∞) となるものに対して、無限個の N に対して |ΣD,N(f,1)| ≥ (1/2) exp(D(D+1)φ(N)) となるような整関数 f が存在する。
• 任意の D(0,R) 上で正則な関数 f に対して R > r > 0 を満たすとき、ある定数 γ > 0 が存在し、無限個の N に対して |ΣD,N(f,r)| < γ D³ N² が成り立つ。
• 下界はすべての大きな N に対して改善できないし、上界もすべての N に対して一様に強化できない。
• 次数 ≤ D かつ高さ ≤ N である代数的数の集合 E_{D,N} の濃度は、exp(D(D+1)(N−1)) < ε_{D,N} ≤ exp(D(D+1)(N+1)) を満たす。
• 構成は、Galois作用に関して不変な有理数係数多項式 Pk の列に依存しており、すべての α に対して f(α) ∈ ℚ[α] となるように保証する。