[論文レビュー] Surgery and Invariants of Lagrangian Surfaces

Mei-Lin Yau|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、滑らかな同相型を保ちながらシンプレクティック不変量を変えることができる、ラグランジュ面に対する新しい手術操作、la-disk 手術を導入する。これにより、非ハミルトニアン同相型を検出できる新たな不変量、y-インデックスを構成し、シンプレクティック 4-多様体内の滑らかに同相なラグランジュトーラスがハミルトニアン同相型ではないことを証明する。これにより、このようなペアの新しい例が得られる。

ABSTRACT

We considered a surgery, called Lagrangian attaching disk surgery, that can be applied to a Lagrangian surface L at the presence of a Lagrangian attaching disk D, to obtain a new Lagrangian surface L' which is always smoothly isotopic to L. We showed that this type of surgery includes all even generalized Dehn twists as constructed by Paul Seidel. We also constructed a new symplectic invariant, called y-index, for orientable closed Lagrangian surfaces immersed in a parallelizable symplectic 4-manifold W. With y-index we proved that L and L' are not Hamiltonian isotopic. We also obtained new examples of nullhomologous Lagrangian tori which are smooth isotopic but not Hamiltonian isotopic.

研究の動機と目的

• ラグランジュ面に対して滑らかな同相型を保ちつつハミルトニアン同相型を破る手術手順を開発すること。
• 平行化可能なシンプレクティック 4-多様体内の向きつけ可能で閉じたラグランジュ面に対して、新たなシンプレクティック不変量である y-インデックスを構成すること。
• la-disk 手術の結果得られる表面が、滑らかに同相であっても元の表面とハミルトニアン同相型ではないことを証明すること。
• シンプレクティック 4-多様体内に、滑らかに同相だがハミルトニアン同相型でない、ノンホモロジーラスのラグランジュトーラスのペアを新たに構成すること。

提案手法

• 境界のホモトピー型に基づき、放物型、双曲型、または楕円型で極性をもつラグランジュ付着ディスク（la-disk）を定義する。
• 境界曲線のコラージュ近傍を切り取り、別のラグランジュ環状領域を貼り付けることにより、ラグランジュ構造を保つ la-disk 手術 η_D を構成する。
• ラグランジュ面の交差領域内の有向弧に沿った位相変化の積分を通じて、y-インデックスをシンプレクティック不変量として導入する。
• 球座標とラグランジュ・グラスマンニアン上の群作用を用いて相対位相を分析し、y-インデックスを定義する。
• 連続する手術における y-値の差を計算することで、非ハミルトニアン同相型を検出する。
• ハミルトニアン同相型を用いて領域を変形しながら y-インデックスを保存し、非同相なトーラスの系列を制御的に構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ面に対する手術が、滑らかな同相型を保ちつつハミルトニアン同相型を破ることができるか。
• RQ2 滑らかに同相であっても、非ハミルトニアン同相型を検出できるシンプレクティック不変量が存在するか。
• RQ3 シンプレクティック 4-多様体内に、滑らかに同相だがハミルトニアン同相型でないラグランジュトーラスのペアを新たに構成できるか。
• RQ4 y-インデックスは la-disk 手術においてどのように振る舞い、同相型を区別するのに使えるか。
• RQ5 la-disk 手術とシンプレクティック位相幾何学における一般化されたデーン変形との関係は何か。

主な発見

• la-disk 手術 η_D により得られる新たなラグランジュ面 L′ は、L と滑らかに同相であるが、必ずしもハミルトニアン同相型ではない。
• y-インデックスは非ハミルトニアン同相型を検出できるシンプレクティック不変量である：y(L′,q) ≠ y(L,q) ならば、L と L′ はハミルトニアン同相型ではない。
• 連続する la-disk 手術により得られるトーラス T_k に対して、y(T_k, q) = -4k（k = -1, 0, ..., n）が成り立つ。
• T_k と T_j 間の y-インデックスの差は y(T_k, T_j, q) = 4(j - k) であり、これによりすべての T_k が互いに非ハミルトニアン同相型であることが証明される。
• この構成により、W_n 内に n+2 個の互いに非ハミルトニアン同相型の単調ラグランジュトーラスが得られ、それらは互いに滑らかに同相である。
• y-インデックスは、基準点と領域を固定するハミルトニアン同相型に関して不変であるため、同相型を区別するのに適している。