[論文レビュー] Survival probabilities of some iterated processes

Christoph Baumgarten|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、プロセス $ X $ が別のプロセス $ Y $ の絶対値または符号と合成された反復確率過程の生存確率を調査する。連続的かつ自己相似的である $ Y $ に対して、$ X( |Y_t| ) $ の生存指数が $ \theta H $ に等しいことが示され、ここで $ \theta $ は $ X $ の生存指数、$ H $ は $ Y $ の自己相似指数である。主な結果として、反復ブラウン運動の生存確率は $ T^{-1/2} $ の速度で減少することが確認され、標準ブラウン運動 $ X $ と $ H = 1/2 $ を持つ $ Y $ に対して $ \theta H = 1/4 $ であることを裏付けている。

ABSTRACT

We study the asymptotic behaviour of the probability that a stochastic process $(Z_t)_{t \geq 0}$ does not exceed a constant barrier up to time $T$ (the so called survival probability) when Z is the composition of two independent processes $(X_t)_{t \in I}$ and $(Y_t)_{t \geq 0}$. To be precise, we consider $(Z_t)_{t \geq 0}$ defined by $Z_t = X \circ \abs{Y_t}$ when $I = [0,\infty)$ and $Z_t = X \circ Y_t$ when $I = \mathbb{R}$. For continuous self-similar processes $(Y_t)_{t \geq 0}$, the rate of decay of survival probability for $Z$ can be inferred directly from the survival probability of $X$ and the index of self-similarity of $Y$. As a corollary, we obtain that the survival probability for iterated Brownian motion decays asymptotically like $T^{-1/2}$. If $Y$ is discontinuous, the range of $Y$ possibly contains gaps which complicates the estimation of the survival probability. We determine the polynomial rate of decay for $X$ being a Lévy process (possibly two-sided if $I = \mathbb{R}$) and $Y$ being a Lévy process or random walk under suitable moments conditions.

研究の動機と目的

• 反復過程 $ Z_t = X(|Y_t|) $ または $ Z_t = X(Y_t) $ に対して、生存確率 $ P(\sup_{t \in [0,T]} Z_t \leq 1) $ の漸近的減衰率を特定すること。
• 外側のプロセス $ X $ の生存指数と内側のプロセス $ Y $ の自己相似性またはパスの性質が、全体の生存指数にどのように寄与するかを確立すること。
• 一方向の抜出し問題に関する既知の結果を、特にレヴィ過程および自己相似過程のクラスにまで拡張すること。
• 不連続な $ Y $ の課題に対処すること、特に $ Y $ の値域にギャップがあると生存確率の推定が複雑になること。
• $ X $ および $ Y $ に対してモーメント条件を満たす場合の正確な多項式減衰率を提示すること、ドリフトやゼロ平均を含む場合も含む。

提案手法

• $ Y $ の自己相似性とパス連続性を用いて、$ X(|Y_t|) $ の生存確率を、時刻 $ T $ までの $ Y $ の典型的な範囲（スケーリングで $ T^H $ に比例）に関連付ける。
• 小偏差確率条件 $ P(\sup_{t \in [0,1]} |Y_t| \leq \epsilon) \precsim \epsilon^\rho $ を適用し、$ Y $ がゼロ付近に留まる寄与を除外する。
• $ Y $ の上限 $ M_T $ と下限 $ I_T $ に基づく分解を用い、生存確率を $ E[ P(\sup_{t \in [I_T, M_T]} X_t \leq 1 \mid \mathcal{F}_T^Y) ] $ として表現する。
• レヴィ過程に対しては、$ X $ および $ Y $ に対するモーメント条件、特に $ X_1^+, X_1^- \in \mathcal{X}(\alpha) $ を用いて、尾確率および生存確率を評価する。
• モルチャン（1999）の分数 Browmian 動作に関する結果を応用し、逆局所時刻の可積分性の下で、ハーストパラメータ $ H $ に依存しない生存指数を導出する。
• カップリングおよびモーメント推定を用いて、$ Y $ の範囲によって定まる区間で $ X $ が 1 以下に留まる確率を評価し、特にランダムウォークの場合を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的かつ自己相似的である $ Y $ に対して、$ Y $ の自己相似指数 $ H $ と $ X $ の生存指数 $ \theta $ が、$ X(|Y_t|) $ の生存指数にどのように関係するか？
• RQ2 反復ブラウン運動の生存確率の減衰率は何か？ また、個々の指数の積とはどのように比較されるか？
• RQ3 $ Y $ がドリフト付きまたはゼロ平均のレヴィ過程であり、$ X $ がレヴィまたはレヴィ型過程である場合、$ X(Y_t) $ の生存確率はどのように振る舞うか？
• RQ4 $ Y $ の小偏差が、$ Z = X \circ |Y| $ の反復過程の生存指数に果たす役割は何か？
• RQ5 自己相似過程に従属する二方向の分数ブラウン運動の生存指数は、ハーストパラメータ $ H $ に依存するか？

主な発見

• 連続的かつ自己相似的 $ Y $（指数 $ H $）に対して、$ X(|Y_t|) $ の生存確率は、$ Y $ が弱い小偏差条件を満たす限り、$ T^{-\theta H} $ の速度で減少する。ここで $ \theta $ は $ X $ の生存指数である。
• 反復ブラウン運動の生存指数は $ 1/4 $ であり、これは標準ブラウン運動 $ X $ に対して $ \theta = 1/2 $、時間プロセスに対して $ H = 1/2 $ である場合に対応する。
• $ Y $ がゼロ平均のレヴィ過程であり、$ X $ が $ X_1^+, X_1^- \in \mathcal{X}(\alpha) $ を満たす二方向のレヴィ過程である場合、$ X(Y_t) $ の生存確率は、対数補正を除けば $ T^{-1/2} $ の速度で減少する。
• $ Y $ が正のドリフトを持つ場合、$ X(Y_t) $ の生存確率も依然として $ T^{-1/2} $ の速度で減少するが、対数補正因子 $ (\log T)^{1/\alpha} $ を伴う。これは $ X $ の一方の分岐が支配的であることを反映している。
• ハーストパラメータ $ H \in (0,1) $ を持つ分数ブラウン運動 $ X $ が、指数 $ \lambda $ の連続的自己相似プロセス $ Y $ に従属する場合、生存指数は $ \lambda $ に等しく、$ H $ に依存しない。これは逆局所時刻の可積分性の下で成り立つ。
• $ Y $ がランダムウォークで、$ X $ がレヴィ過程である場合、$ X(Y_t) $ の生存指数は、ドリフトの有無に関わらず $ 1/2 $ に等しい。これは $ Y $ の典型的な揺らぎと $ X $ の生存指数の相互作用に起因する。