[論文レビュー] Switching Game of Backward Stochastic Differential Equations and Associated System of Obliquely Reflected Backward Stochastic Differential Equations

Ying Hu, Shanjian Tang|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1次元のBSDEに基づくスイッチングゲームに由来する、斜交反射型の後向き確率微分方程式（RBSDE）系の解の存在を確立する。ペナルティ法、単調収束法、および事前推定を用いて、斜交反射を伴う特別な非有界凸領域における適応解の存在を証明し、非マルコフ型確率的スイッチングゲームにおける主要な課題に対処する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the switching game of a one-dimensional backward stochastic differential equation (BSDE). The associated Bellman-Isaacs equation is a system of matrix-valued BSDEs living in a special unbounded convex domain with reflection on the boundary along an oblique direction. In this paper, we show the existence of an adapted solution to this system of BSDEs with oblique reflection by the penalization method, the monotone convergence, and the a priori estimates.

研究の動機と目的

• 非マルコフ型枠組みにおける1次元後向き確率微分方程式（BSDE）のスイッチングゲームを研究すること。
• 境界上で斜交反射を伴う行列値BSDEの系として関連するベルマン＝イサース方程式を特徴づけること。
• この斜交反射型BSDEの系に対する適応解の存在を確立すること。
• 非マルコフ型動的システムおよび斜交反射を扱うため、反射型BSDE理論を拡張すること。

提案手法

• ランダムな生成子とスイッチングコストを伴う非マルコフ型設定において、2人のプレイヤーがスイッチング戦略を選択するスイッチングゲーム問題を定式化すること。
• スイッチングコスト関数 k および l によって定まる反射方向を有する、斜交反射を伴う行列値BSDEの関連系を定義すること。
• ペナルティ法を用いて、斜交反射型BSDE系をペナルティ項を含む標準的なBSDEの列に近似すること。
• 単調収束法および事前推定を用いて極限に移行し、空間 $ S^2 \times M^2 \times N^2 \times N^2 $ 内の解を取得すること。
• イトの公式およびペナルティ付き系列の一様有界性を用いて、$ L^2 $ でのペナルティ解の収束および $ Z $-成分の強い収束を確立すること。
• ペナルティ付き系における極限をとることで境界条件を検証し、解が最小限の斜交反射条件を満たすことを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元のBSDEのスイッチングゲームに由来する斜交反射型BSDE系に対して、解が存在するか？
• RQ2 非マルコフ型、非有界凸領域における斜交反射を伴うこの解の存在は、どのように確立できるか？
• RQ3 ペナルティ法は、行列値BSDEの系における斜交反射を扱うためにどのように適合されるか？
• RQ4 極限解がスイッチングゲームに必要な境界条件を満たすために必要な条件は何か？
• RQ5 解は一意的であるか、それとも一意性は未解決の問題のままか？

主な発見

• ペナルティ法および事前推定を用いて、斜交反射型BSDE系に対する適応解の存在が確立された。
• 解 $ (Y,Z,K,L) $ は、斜交反射を伴うBSDEを満たし、すべての $ t \in [0,T] $ に対して $ Y(t) \in \bar{Q} $ であるため、状態が領域内に留まることが保証される。
• 最小境界条件が満たされている：$ \mathbb{E}\left[\int_0^T \left(Y_{ij}(s) - \min_{i' \neq i} \{Y_{i'j}(s) + k(i,i')\} \right)^- \alpha_{ij}(s) ds\right] = 0 $ であり、不要な上昇ジャンプが防がれる。
• イトの公式およびペナルティ系列の一様有界性を用いて、$ Z^n $ の $ M^2 $ での強い収束および $ Y^n $ の $ S^2 $ での収束が証明された。
• 極限解は、斜交反射を伴うBSDEの完全な系を満たしており、構成の妥当性が確認された。
• 解の一意性は、結論的 remarks で指摘されているように、未解決の問題のままである。