[論文レビュー] Symbolic Computation of Variational Symmetries in Optimal Control

Paulo D.F. Gouveia, Delfim F. M. Torres+1 more|ArXiv.org|Apr 4, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、非保存力およびゲージ項を含む最適制御問題における変分的対称性および関連するノーターの第一積分を、効率的に計算するためのMaple用記号計算パッケージを提示する。主な貢献は、(2,3,5,8)の部分リーマン的ノルム的問題に対する8つの独立した第一積分の自動導出であり、リウヴィルの定理を越えて可積分性解析を可能にする。

ABSTRACT

We use a computer algebra system to compute, in an efficient way, optimal control variational symmetries up to a gauge term. The symmetries are then used to obtain families of Noether's first integrals, possibly in the presence of nonconservative external forces. As an application, we obtain eight independent first integrals for the sub-Riemannian nilpotent problem (2,3,5,8).

研究の動機と目的

• 最適制御問題における変分的対称性を計算するための効率的なコンピュータ代数システムの開発。
• 従来の手法を拡張し、ゲージ項による不変性および非保存外力の存在を含める。
• 記号計算を用いてノーターの第一積分の自動計算。
• 部分リーマン的ノルム的(2,3,5,8)系のような複雑な問題への手法の適用。
• (2,3,5,8)系の8つの独立した第一積分の発見を通じた可積分性の実証。

提案手法

• Lagrangian汎関数および制御系で記述される最適制御問題の変分的対称性を記号的に計算するためのカスタムMapleパッケージを採用。
• ゲージ項による不変性を含むようにノーターの定理を一般化し、非保存系への広範な適用性を実現。
• 拡張されたポントレヤーギン最大原理を用いて非保存力を組み込み、修正された随伴系を導入。
• 最大性要件からの静止条件を用いてハミルトニアンおよび極値制御を計算。
• 対称性条件を解き、代入と簡略化により保存則の検証を通じて第一積分を導出。
• 部分リーマン的ノルム的(2,3,5,8)問題に対して8つの独立第一積分を計算することで、手法の妥当性を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非保存力を持つ最適制御問題において、変分的対称性および関連第一積分を効率的に計算できるか？
• RQ2 記号計算フレームワークは、最適制御系におけるゲージ項による不変性を処理できるか？
• RQ3 高次元のノルム的最適制御問題における第一積分の導出は計算的に可能か？
• RQ4 リウヴィルの定理のポアソン括弧条件を満たさない場合でも、複数の独立第一積分の存在が可積分性を示唆できるか？
• RQ5 記号計算ツールは、部分リーマン幾何における保存則の導出を自動化できるか？

主な発見

• 本稿では、部分リーマン的ノルム的問題(2,3,5,8)に対して、文献に先んじて8つの独立第一積分を効率的に計算した。
• 8つの第一積分のうち7つは自明である：ハミルトニアンHおよび随伴変数ψ₃, ψ₄, ψ₅, ψ₆, ψ₇, ψ₈はすべて定数として保存される。
• 第8の第一積分は非自明である：ψ₂ + x₃ψ₅ + x₄ψ₇ + x₅ψ₈が保存され、非自明な対称性構造を示している。
• ψ₃と非自明第一積分の間の非可換なポアソン括弧を持つにもかかわらず、系は可積分である。これはリウヴィルの定理が適用されないことを示している。
• 記号計算パッケージは、従来の実装よりも著しく効率的であり、以前は計算不能とされていたケースの計算を可能にした。
• 本手法は、コンピュータ代数システムを用いた複雑な幾何的最適制御問題における保存則の自動導出の可能性を示した。