[論文レビュー] Symbolic Models for Nonlinear Time-Varying Time-Delay Systems via Alternating Approximate Bisimulation

Giordano Pola, Pierdomenico Pepe+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2010

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、交互な近似的な双対性を用いて、非線形時変時遅れシステムの記号的モデルを提案し、リャプノフ＝クラソフスキー汎関数を用いて特徴づけられる増分入力遅延状態安定性（δ-IDSS）を導入する。主な貢献は、調整可能な精度を持つ元のシステムと交互に近似的に双対性を持つ計算可能な記号的モデルが存在することの証明である。

ABSTRACT

Time-delay systems are an important class of dynamical systems that provide a solid mathematical framework to deal with many application domains of interest. In this paper we focus on nonlinear control systems with unknown and time-varying delay signals and we propose one approach to the control design of such systems, which is based on the construction of symbolic models. Symbolic models are abstract descriptions of dynamical systems where one symbolic state and one symbolic input correspond to an aggregate of states and an aggregate of inputs. We first introduce the notion of incremental input-delay-to-state stability and characterize it by means of Lyapunov-Krasovskii functionals. We then derive sufficient conditions for the existence of symbolic models that are shown to be alternating approximately bisimilar to the original system. Further results are also derived which prove the computability of the proposed symbolic models in a finite number of steps.

研究の動機と目的

• 未知で時変な遅れを有する非線形制御系の課題に取り組むこと。これは、工学的および生物学的システムで一般的に見られる。
• 既知／定常な遅れに限った記号的モデルに基づく制御設計を、時変かつ未知の遅れ信号へと拡張すること。
• 連続時間遅れ系における複雑な仕様（例：安全性、生存性）の形式的検証を、離散的抽象化を用いて行うためのフレームワークを提供すること。
• 状態、入力、遅れの有界性仮定のもとで、記号的モデルが有限時間内に計算可能であることを保証すること。
• 制御理論的安定性と形式的手法の間に、新たな安定性概念「δ-IDSS」を介して接続を確立すること。

提案手法

• 増分入力遅延状態安定性（δ-IDSS）という新しい概念を導入し、異なる初期条件、入力、遅れ信号下での軌道のずれを定量化する。
• 2つのシステム軌道の差に依存するリャプノフ＝クラソフスキー汎関数を用いてδ-IDSSを特徴づける。
• 各記号的状態および入力が連続状態および入力の集約を表し、時遅れ信号も抽象化する記号的モデルを構築する。
• 元のシステムとその記号的モデルとの間で、ユーザーが定めた精度内での振る舞いの近似を保証する交互な近似的双対性を確立する。
• 状態、入力、遅れ集合の有界性仮定のもとで、記号的モデルの有限ステップ計算手順を提案する。
• 先行研究のアルゴリズムを改良し、計算効率を向上させ、2次元時遅れ系を用いた数値的ケーススタディにより検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未知の遅れを有する非線形時変時遅れシステムに対して、記号的モデルを構築することは可能か？
• RQ2 記号的モデルが元のシステムと交互に近似的に双対性を持つために必要な十分な安定性特性は何か？
• RQ3 記号的抽象化の精度を制御し、任意に小さくできるか？
• RQ4 実用的な有界性仮定のもとで、記号的モデルは有限時間内に計算可能か？
• RQ5 提案されたフレームワークは、安定化を超えて、同期化や安全性といった複雑な制御仕様をサポートできるか？

主な発見

• 提案されたδ-IDSS条件は、初期条件、入力、時遅れ信号の差に起因する軌道の感度を捉えるリャプノフ＝クラソフスキー汎関数を用いて特徴づけられる。
• 数値例において、β(ω,t) = 4.3580e^(-1.0870t)ω、γ_U(ω) = 13.5647ω、γ_D(ω) = 194.1666ω であるδ-IDSSリャプノフ＝クラソフスキー汎関数を構築し、システムのδ-IDSSを確認した。
• ε = 0.12 の条件下で、τ = 2、λ_X = 0.02、λ_U = 5×10⁻⁴、λ_D = 1.4×10⁻⁴ を用いて記号的モデルを構築し、必要な双対性不等式を満たした。
• 標準的なアルゴリズムを用いて記号的モデルの計算に約203,215秒を要したが、最適化されたアルゴリズムにより、標準ラップトップ上では7,692秒に短縮された。
• 記号的制御戦略は、Δ(t) = 1.5 + 0.5sin(0.01t) という時変遅れ下でも、シミュレーションにより元のシステムにおける同期化を成功裏に達成した。
• このフレームワークにより、記号的モデルが元のシステムと交互に近似的に双対性を持つことが保証され、複雑な制御仕様の形式的検証および合成が可能になる。